Три метода вычисления производной

1) Путем разделения приращения функции на главную часть и остаток (Ньютон, 1685г.)

2) Путем вычисления предела. (Коши, 1820 г.)

3) Методом расчленения сложного выражения до уровня элементарных основных элементарных функций (по формулам).

Если аналитическое выражение состоит из нескольких частей, связанных знаками арифметических операций, то производная от него распадается на производные от составных частей, согласно правилам дифференцирования 1) - 5). Если эти составные части являются сложными функциями, то производные от них представляются как произведение от входящих в них основных элементарных функций. В результате, для завершения всей процедуры вычисления достаточно знать производные для 6 типов элементарных функций. Эти производные вычислены с помощью нескольких замечательных пределов и вошли в специальную таблицу.

Наша задача - самим построить таблицу производных и научится ей пользоваться.

Степенная функция.

Приращение функции y = xⁿ в произвольной точке х

y = (x + x) ⁿ – xⁿ = (x+ x)(x+ x)...(x+ x) – xⁿ= xⁿ + n x^{n – 1} x +Q( x) – xⁿ

включает главную часть n x^{n – 1} x и остаток Q( x). Вклад в производную дает только главная часть, линейная по x.

(xⁿ)` = x = = n x^{n – 1} (6)

Показательная функция.

Теорема. Функция exp x e^x имеет производную в каждой точке числовой оси, которая равна самой функции

(exp x)` = exp x или (e<sup>x</sup>)` = (e^x) (7)

Доказательство: Имеем замечательный предел = 1.

()` = = = =

Теорема. Функция a^x дифференцируема в каждой точке числовой оси:

(a^x )` = a^x ln a (8)

Доказательство: Представим a^x как сложную функцию a^x= (e ^{ln a}) ^x= e^{x ln a}= = e^{u ( x )}, где u (x) = x ln a и продифференцируем ее в произвольной точке

(a^x )` = (e<sup>u</sup>)` _u u`<sub>x</sub> = e<sup>u</sup> (x ln a)` _x = e^u ln a = a^x ln a.

Логарифмическая функция.

Теорема. Функции y = ln x, y = log _a x дифференцируемы при всех х > 0

(ln x)` = , (log <sub>a</sub> x)` = (9)

Доказательство: Имеем замечательный предел = 1

y = ln x, y` = = = ;

y = log _a x = , y` = ()` = ( ln x)` = .

Тригонометрические функции.

Имеем первый замечательный предел = 1 и тригонометрические формулы: sin - sin = 2 cos( + )/2 sin ( - )/2

cos - cos = - 2sin( + )/2 sin ( - )/2

1) (sin x)`= lim = lim cos(x+ x/ 2) = cos x (10)

x 0 x 0

2) (cos x)` = lim = - lim sin(x+ x/ 2) = - sin x (11)

x 0 x 0

3) (tg x)` = ()` = = (12)

4) (ctg x)` = ()` = = (13)

Производная обратной функции

Имеем монотонную и дифференцируемую на интервале [ a,b ] функцию y = f (x) и обратную к ней функцию x = g (y). Они являются разными формами одной зависимости между х и у и поэтому их производные связаны простым соотношением

g`_y = и y = f (x).

Доказательство: Продифференцируем обратную функцию по х

(x)` <sub>x</sub> = (g(y))` _x 1 = g`<sub>y</sub> y`_x и получим g (y)` <sub>y</sub> = , где в производной (f (x))` _x переменную х надо заменить на у, используя прямую функцию y= f (x).

Обратные тригонометрические функции.

Имеем y = arcsin x и обратную функцию x = sin y. На интервале - /2< y < /2 она монотонна и дифференцируема, ее производная (x)` _y =cos y 0 Cледовательно,

y`<sub>x</sub> = (arcsin x)` _x = = = ;

( arcsin x)` _x = (14)

Имеем y = arctg x и обратную функцию x = tg y. На интервале - /2 < y < /2 она монотонна и дифференцируема, ее производная (x)` _y = 0. Следовательно,

y ` <sub>x</sub> = (arctg x)` _x = cos² y = =

(arctg x) _x = (15)