Непрерывность функции. С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции

С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции. На графике непрерывным функциям соответствуют непрерывные линии.

Пусть y = f (x) определена в точке х _oи ее окрестности. Величина х= х – х _oназ. приращением аргумента, y = y – y _o - соответствующим приращением функции.

Опр.1 Функция y = f (x)наз. непрерывной в точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.

lim y = 0при х 0 (1)

Следствие: Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D (f), т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию (1)

y = a^x, y= , lim y= lim(a - 1) = 0при х 0

y = log _a x, y= log _a (x+ x) - log _ax = log _a (1 + x/x), lim y= lim log _a (1 + x/x) = 0

y = x ², y = (x + x)² - x ² = 2 x x + ( x)², lim y = lim [2 x x + ( x)² ] = 0 Д/з. Проверить выполнение условия (1) для функций: y = x ³, y = sin x, y= cos x

Опр.2 Функция y = f (x)наз. непрерывной в точке х _o, если ее предел в х _oсовпадает со значением функции в этой точке.

lim f (x) = f (x _o)при x x _o(2)

Покажем эквивалентность этих определений:

lim y = 0 lim(f (x) – f ( x _o)) = 0 lim f (x) = f (x _o)

x 0 x x _o const x x _o

Условие (2) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента

lim f (x) = f (lim x) (3)

x x _o x x _o

Для y = f (x) определенной на [ a,b ] предельный процесс около внутренней точки x (a < x < b) можно организовать двумя способами, подходя к точке x слева или справа

lim f (x) = f (x ₀– 0),lim f(x) = f (x ₀ + 0)

x x ₀ - 0 x x ₀ + 0

Это левосторонний и правосторонний пределы.

Опр.3 Функция y = f (x)наз. непрерывной в точке x ₀, если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадают f (x ₀– 0) = f (x ₀ + 0) =f (x ₀)

Опр. Функция y = f (x)наз. непрерывной на промежутке [ a,b ], если она непрерывна в каждой его точке. На концах

lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (b)

x a + 0 x b - 0