Теорема Ляпунова

Центральная предельная теорема Ляпунова. Многие задачи теории вероятностей связаны с изучением суммы независимых случайных величин. В соответствии с этой теоремой плотность вероятности суммы независимых или слабо зависимых, равномерно малых (играющих одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределения независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые.

Из теоремы Ляпунова следует локальная теорема Лапласа. Пусть СВ – число появлений события при независимых опытах. Её можно представить так: , где – число появлений события при -том испытании, При всех , , то величины () удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова. Их сумма имеет распределение, близкое к нормальному. Оно определяется формулой .

Известно, что ,

Тогда при , , получаем .

Поэтому верна локальная теорема Лапласа: если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной (), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие появится ровно раз, приближённо выражается формулой или при , где .

Приведём без доказательства интегральную теорему Лапласа: если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной (), то вероятность того, что в этих испытаниях событие появится не менее раз и не более , приближённо выражается формулой , где , .

Эта формула имеет другой вид: или , где – функция Лапласа.