Неравенство Чебышева. Оценка вероятности отклонения относительной частоты события от его вероятности

Неравенства Чебышева.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения СВ от своего математического ожидания меньше положительного числа, не меньше разности :

или .

Докажем теорему для ДСВ , имеющей закон распределения , .

События и являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна единице, то есть , откуда

.

Дисперсия ДСВ равна: .

Предположим, что значения случайной величины занумерованы так, что

, , …, ,

, , …, .

Поскольку обе части каждого из последних неравенств положительны, то

, , …, .

Понятно тогда, что

.

В соответствии с теоремой сложения вероятностей независимых событий сумма выражает вероятность того, что ДСВ примет одно из значений , , для которого , то есть .

Поэтому , откуда – первое неравенство Чебышева. Найдем : –

второе неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева имеет прежде всего теоретическое значение. Но когда о законе распределения случайной величины мало информации, оно находит практическое применение.