Плотность вероятности системы случайных величин

Двумерная непрерывная случайная величина. Плотность вероятности двумерной случайной величины. Функция распределения характеризует как дискретные так и непрерывные двумерные случайные величины. Но последние ещё удобно задавать плотностью вероятности.

Плотность вероятности одномерной случайной величины есть предел отношения вероятности попадания её значений на малый участок к длине этого участка при неограниченном уменьшении этой длины. Для системы двух случайных величин определение плотности вероятности аналогичное: вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и , примыкающий к точке (рис. 9).

Найдём вероятность попадания случайной точки в : .

Разделим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник на его площадь и найдём предел этого выражения при и :

.

Предполагая, что непрерывна и дифференцируема, и применив теорему Лагранжа, получим

, где точка расположена между и , точка – между и . Тогда ,

так как при и , .

Определение 12.3. Функция , равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда и , называется плотностью вероятности.

Таким образом, во всех точках, где существует смешанная производная.

Геометрически функция изображается некоторой поверхностью, которая аналогична по смыслу кривой распределения и называется поверхностью распределения. Если её пересечь плоскостью, параллельной плоскости и спроецировать полученное сечение на , то получится кривая, в каждой точке которой плотность вероятности постоянна (кривая равной плотности). По аналогии с одномерным случаем рассмотрим понятие элемента вероятности. Из определения предела следует, что

,

где при , .