Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Случайная величина принимает значения, зависящие от многих причин. Учесть эти причины полностью невозможно. Поэтому и невозможно заранее указать значение, которое случайная величина примет в результате данного опыта. На первый взгляд кажется, что поведение суммы достаточно большого числа случайных величин не обладает закономерностью, как и каждая случайная величина в отдельности. Но это не так. Поведение суммы достаточно большого числа случайных величин при некоторых условиях перестает быть случайным и становится закономерным. Эти условия указаны в теореме Чебышева.

Рассмотрим случайную величину , закон распределения которой меняется от опыта к опыту. Тогда появляются несколько () случайных величин.

Если случайные величины , , …, независимы, имеют математические ожидания и дисперсии, каждая из которых ограничена одним и тем же числом , то для любого положительного числа выполняется неравенство: .

Cреднее арифметическое данных случайных величин имеет вид: .

Тогда .

Применяя второе неравенство Чебышева к СВ , получаем: .

Учитывая условие () и свойства дисперсии, находим

, .

Из последнего неравенства и второго неравенства Чебышева следует неравенство: .

Рассмотрим понятие сходимости по вероятности. Последовательность случайных величин , , …, сходится по вероятности к СВ , если для любого числа : .

Обозначение сходимости по вероятности: . Если случайные величины , , …, удовлетворяют условиям теоремы Чебышева, то , ,

но так как вероятность не может быть больше единицы, то .

Теорема Чебышева лежит в основе выборочного метода в статистике. Результат каждого измерения – случайная величина с матожиданием, равным истинному значению измеряемой величины (если нет систематической погрешности). Теорема Чебышева говорит о том, что при большом числе измерений в качестве истинного можно принять среднее арифметическое (вероятность ошибиться при этом тем меньше, чем больше ).