Начальные и центральные моменты распределения, связь между ними

Моменты распределения случайных величин. Обобщением основных числовых характеристик случайных величин, описывающих центр распределения (математического ожидания, моды, медианы) и рассеивание (дисперсии и среднего квадратического отклонения), является понятие моментов. Их ценное свойство состоит в том, что моменты более низкого порядка несут больше информации о случайной величине, чем моменты высокого порядка.

Определение 7.6. Начальным моментом -того порядка СВ называется математическое ожидание -той степени этой величины, то есть .

Для ДСВ с возможными значениями , …, , … и с соответствующими вероятностями , …, , … имеем: при условии, что этот ряд сходится абсолютно.

Для НСВ с плотностью вероятности : , если этот интеграл сходится абсолютно.

Запишем формулы, выражающие начальные моменты -того порядка при , для дискретной и непрерывной случайных величин:

, ;

, ;

, .

Определение 7.7. Центральным моментом -того порядка СВ называется математическое ожидание -той степени отклонения этой величины от ее математического ожидания, то есть

.

Для ДСВ с возможными значениями , …, , … и с соответствующими вероятностями , …, , … имеем: при условии, что ряд сходится абсолютно.

Для НСВ с плотностью вероятности : , если этот интеграл сходится абсолютно.

Запишем формулы, выражающие центральные моменты -того порядка при , для дискретной и непрерывной случайных величин:

, ; ;

, .

Центральный момент порядка можно выразить через начальные моменты:

.

.

Аналогично выводится формула

.

Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию («скошенность») распределения случайной величины. Для получения безразмерной характеристики делят на .

Отношение называется коэффициентом асимметрии. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все моменты нечётного порядка равны нулю.