Свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

Доказательство. Постоянная величина есть значение СВ , которое оно принимает с вероятностью, равной единице, то есть .

По определению математического ожидания получаем: .

2) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

Доказательство. Пусть ряд распределения СВ имеет вид:

Пусть СВ также принимает одно значение из двух возможных. Причём их вероятности, вообще говоря, зависят от того, какое значение приняла СВ :

Из условия нормировки следует, что

,

.

По формуле полной вероятности получаем, что

,

Используя теорему умножения вероятностей, запишем ряд распределения СВ :

По определению математического ожидания имеем:

.

Аналогично это свойство доказывается для суммы двух случайных величин не только с двумя, но и с большим числом возможных значений, а также для суммы нескольких случайных величин.

3) Математическое ожидание произведения двух взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий их сомножителей, то есть: .

Доказательство. Рассмотрим СВ и СВ из предыдущего доказательства. При этом возможными значениями случайной величины будут , , , с соответствующими вероятностями , , , .

По определению математического ожидания имеем:

.

Аналогично это свойство доказывается для произведения двух случайных величин не только с двумя, но и с большим числом возможных значений, а также для произведения нескольких случайных величин.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .

Доказательство. По свойству 3) имеем: .

5) Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий: .

Доказательство. По свойствам 2) и 4) имеем:

.

Математическое ожидание случайной величины имеет её размерность.