![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Свойства математического ожидания
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
.
Доказательство. Постоянная величина есть значение СВ
, которое оно принимает с вероятностью, равной единице, то есть
.
По определению математического ожидания получаем: .
2) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
.
Доказательство. Пусть ряд распределения СВ имеет вид:
Пусть СВ также принимает одно значение из двух возможных. Причём их вероятности, вообще говоря, зависят от того, какое значение приняла СВ
:
Из условия нормировки следует, что
,
.
По формуле полной вероятности получаем, что
,
Используя теорему умножения вероятностей, запишем ряд распределения СВ :
По определению математического ожидания имеем:
.
Аналогично это свойство доказывается для суммы двух случайных величин не только с двумя, но и с большим числом возможных значений, а также для суммы нескольких случайных величин.
3) Математическое ожидание произведения двух взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий их сомножителей, то есть: .
Доказательство. Рассмотрим СВ и СВ
из предыдущего доказательства. При этом возможными значениями случайной величины
будут
,
,
,
с соответствующими вероятностями
,
,
,
.
По определению математического ожидания имеем:
.
Аналогично это свойство доказывается для произведения двух случайных величин не только с двумя, но и с большим числом возможных значений, а также для произведения нескольких случайных величин.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .
Доказательство. По свойству 3) имеем: .
5) Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий: .
Доказательство. По свойствам 2) и 4) имеем:
.
Математическое ожидание случайной величины имеет её размерность.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 362 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!