Равновозможные исходы, классическое определение вероятности, ее свойства. Элементы комбинаторики

Классическое определение вероятности. Элементарные исходы называют равновозможными, если нет объективных причин появления одного из них чаще других.

Равновозможность исходов при повторении опыта позволяет ожидать, что событие, которому благоприятствует больше исходов, будет наступать чаще.

Вероятностью случайного события называется отношение числа элементарных исходов ему благоприятствующих к общему числу равновозможных элементарных исходов данного опыта: .

В соответствии с данным определением, вероятность – это безразмерная величина, заключенная между нулем и единицей.

(1)

В частности, вероятность достоверного события (ему благоприятствуют все исходы) равна единице, а невозможного (ему не благоприятствует ни один исход) – нулю:

(условие нормировки), . (2)

Кроме того

, (3)

если события и несовместны (не пересекаются), и

. (4)

С помощью (4) определяется, например, вероятность промаха, если известна вероятность попадания или наоборот (если вероятность попадания для орудия равна 0,9, то вероятность промаха для него 1-0,9=0,1). Соотношения (1) – (4) отражают основные свойства вероятности.

Основные комбинаторные схемы. Часто количество благоприятствующих или всех элементарных исходов испытания определить непосредственно сложно, так как оно представляет, например, число способов, которыми можно выбрать некоторое множество объектов из имеющихся.

Правило произведения

Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами, а второй объект (элемент ) – способами, то оба объекта и можно выбрать способами.

Правило суммы

Если из некоторого конечного множества элемент можно выбрать способами, а элемент – способами, причём способы и не пересекаются, то любой из элементов или можно выбрать способами.

Размещения

Имеются различных элементов . Из них составляют всевозможные расстановки длины . Например, – расстановка длины 3. Две расстановки длины считаются различными, если они отличаются видом входящих в них элементов или порядком их следования в расстановке. Такие расстановки называются размещениями без повторений из по , а их число обозначают .

При составлении размещений на первое место можно поставить любой из имеющихся элементов. На второе место теперь можно поставить только любой из оставшихся. И, наконец, на -тое – любой из оставшихся предметов. По правилу произведения получаем, что общее число размещений без повторений из по равно

.

Напомним, что и .

Перестановки

При составлении размещений из элементов по мы получали расстановки, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов. Но если брать расстановки, которые включают все элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком. Такие расстановки называются перестановками из элементов, а их число обозначается . Следовательно, число перестановок равно .

Сочетания

Сочетаниями из различных элементов по называются все возможные расстановки длины , образованные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Общее число сочетаний обозначают через или .

Определим это число. Составим все сочетания из по . Затем переставим в каждом сочетании элементы всеми возможными способами. Теперь мы получим расстановки, отличающиеся либо составом, либо порядком, то есть это все размещения без повторений из по . Их число равно . Учитывая, что каждое сочетание дает размещений, по правилу произведения можно записать . Тогда или .

Для чисел (они называются биномиальными коэффициентами) справедливы тождества (докажите их самостоятельно):

(правило симметрии),

,

(правило Паскаля),

.

При большом подсчет числа вариантов по этим формулам требует громоздких вычислений . В таком случае пользуются асимптотической формулой Стирлинга

, где .