Гармонические колебания. Основные характеристики гармонического колебания на примере пружинного маятника

Для аналитического описания колебательных процессов используется уравнение, которое связывает значение изменяющейся величины S со временем t:

S = f(t). (1.2.1)

Уравнение вида (1.2.1) называется уравнением колебаний.

Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, то есть колебания, при которых изменяющаяся величина зависит от времени по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания широко распространены в природе и часто используются в технике. Кроме того, негармонические периодические процессы могут быть представлены как суперпозиция (наложение) гармонических колебаний.

Познакомимся с основными характеристиками гармонического колебания на примере пружинного маятника-шарика массы m, подвешенного на пружине (рис. 1.2.1).

В состоянии статического равновесия (рис. 1.2.1, б) на шарик действуют сила упругости и сила тяжести, которые уравновешены:

. (1.2.2)

Согласно закону Гука: F_упр=-kDl₀, следовательно, уравнение (1.2.2) в проекции на ось x имеет вид:

mg = kDl₀. (1.2.3)

x=0

Рис.1.2.1

Если сместить шарик в положение с координатой x, то удлинение пружины станет Dl₀ + x (рис.1.2.1, в).

Проекция результирующей силы на ось 0x будет равна

F_x = mg – k(Dl₀ + x) = mg - kDl₀ – kx.

Учитывая (1.2.3), получаем

F_x = - kx. (1.2.4)

Из (1.2.4) следует, что модуль результирующей силы пропорционален величине отклонения системы от положения равновесия.

Силу, обладающую таким свойством, называют восстанавливающей (в данном случае упругая сила).

Под действием силы F_x шарик будет двигаться к положению равновесия со всевозрастающей скоростью:

Уравнение движения шарика, полученное на основе 2-го закона Ньютона, имеет вид

Перепишем уравнение в виде

. (1.2.5)

Разделим обе части уравнения (1.2.5) на m, и введем обозначение

. (1.2.6)

В итоге получим

. (1.2.7)

Уравнение (1.2.7) называется линейным дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его общее решение называется уравнением колебаний и имеет вид:

(1.2.8)

Уравнение (1.2.8) позволяет определить смещение колеблющейся величины x из положения равновесия в любой момент времени. А, w₀, j₀ - постоянные величины, имеющие следующий смысл.

Амплитуда колебаний А - максимальное отклонение изменяющейся величины от равновесного значения. Выражения, являющиеся аргументами синуса или косинуса, называются фазой колебания. Постоянная j₀, соответствующая фазе в момент начала отсчета времени t = 0, называется начальной фазой колебания.

w₀ - циклическая или круговая частота собственных колебаний. Состояние системы повторяется через промежуток времени, за который фаза получает приращение 2p. Этот промежуток называется периодом колебания и может быть определен из следующего уравнения:

сos[w₀(t+T)+ j₀] = сos[(w₀t+j₀)+2p], (1.2.9)

отсюда w₀t + w₀T + j₀ = w₀t + j₀ + 2p

или w₀T = 2p, откуда

. (1.2.10)

Период (время одного полного колебания) зависит от параметров колебательной системы. Для пружинного маятника из (1.2.10) с учетом (1.2.6) получаем

(1.2.11)

Частотой колебаний n называется число полных колебаний, совершаемых системой за единицу времени. Частота колебаний связана с периодом

. (1.2.12)

Циклическая частота w₀ связана с частотой колебаний n соотношением

w₀ = 2pn.

Дифференцируя (1.2.8) по времени, получаем мгновенную скорость движения колеблющегося тела:

или (1.2.13)

где ê Vmax ê= Aw₀. (1.2.14)

Ускорение при гармонических колебаниях определяется выражением:

(1.2.15)

или a = a_maxсos(w₀t+j₀+p),

где êa_maxê=Aw₀². (1.2.16)

Из сравнения уравнений (1.2.8), (1.2.13) и (1.2.15) следует, что скорость опережает смещение по фазе на , а ускорение опережает смещение на p. На рис.1.2.2 представлены графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени при гармонических колебаниях.

Рис.1.2.2