Однородные системы

Система уравнений (20)называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: . Ясно, что однородная система всегда совместна, так как имеет очевидное тривиальное нулевое решение . Если среди чисел имеется хотя бы одно, отличное от нуля, то такое решение системы называется ненулевым.

Пусть в однородной системе (20) число уравнений меньше числа неизвестных (). Такая система методом Гаусса приведётся к ступенчатой системе, так как к треугольной системе мы можем прийти, лишь когда . Но ступенчатая система имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдётся ненулевое. Например, в системе (21) ненулевое решение получим, взяв . Таким образом, справедлива

Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевые решения.

Рассмотрим случай, когда в однородной системе (20) . Для такой системы может быть доказана

Теорема 2. Если однородная система из уравнений с неизвестными имеет ненулевые решения, то её определитель равен нулю, и наоборот, если определитель указанной однородной системы равен нулю, то эта система имеет ненулевые решения.

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы: дана однородная система (20), в которой и , и она имеет ненулевые решения; нужно доказать, что её определитель равен нулю.

Предположим противное, т. е. что её определитель . Тогда решение этой системы из уравнений с неизвестными можем записать по формулам Крамера . Это будет единственное решение. Но все определители содержат столбец свободных членов, состоящий из одних нулей, поэтому все они равны нулю. Следовательно, по формулам Крамера получим единственное решение рассматриваемой однородной системы – нулевое решение. Это противоречит условию теоремы, согласно которому система имеет ненулевое решение, следовательно, предположение, что , должно быть отброшено.

Докажем вторую часть теоремы: определитель однородной системы (20) уравнений с неизвестными равен нулю; нужно доказать, что система имеет ненулевые решения.

Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то, как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель исходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак, система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконечное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому исходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана.

При решении однородной системы целесообразно преобразовать её методом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе.