Формулы Крамера. Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера

Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера

(15)

Здесь – определитель системы (7) (считается, что ). – определители, получаемые из определителя D заменой соответственно первого, второго, … -го его столбца на столбец свободных членов системы (7), т. е.

, ,

…….

.

Запишем разложение определителя (11) системы (7) по элементам первого столбца:

(16)

В этой формуле элементы первого столбца заменим соответственно на – свободные члены системы (7). Тогда

. (17)

Получили разложение определителя по элементам первого столбца. Аналогично запишем разложение определителя по элементам второго столбца

(18)

и т. д. Наконец, получим разложение определителя по элементам последнего столбца:

. (19)

По формуле (14) будем иметь

.

В правой части матрицы перемножим и получим столбцевую матрицу. Теперь последнюю формулу запишем так:

.

Согласно (17) – (19) в последней формуле суммы, стоящие в числителях матрицы правой части, равны соответственно . Следовательно, эту формулу можно записать в виде

.

В этом соотношении матрицы слева и справа равны друг другу, следовательно, их соответствующие элементы равны, т. е. получаем соотношение (15). Из формул Крамера вытекает следующая

Теорема. Если определитель системы (7) не равен нулю, то эта система имеет единственное решение (которое можно найти, например, по формулам Крамера).