Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его столбцы сделать строками с теми же номерами (эта операция называется транспонированием):

.

Доказательство этого свойства опускаем (оно основано на (4) и (5)).

2. Определитель лишь изменит знак, если поменять местами два каких-либо ряда (две строки или два столбца). Например,

.

В справедливости последнего равенства убедимся, разложив определители слева и справа по элементам соответственно первого и второго столбцов.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Чтобы доказать это свойство, достаточно переставить одинаковые ряды и воспользоваться свойством 2.

4. Множитель, общий для элементов некоторого ряда определителя, можно вынести за знак определителя. Например, пусть l – определённое число, тогда

.

Чтобы доказать это свойство, достаточно разложить определитель по элементам ряда, содержащим указанный множитель.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю. Это свойство доказывается разложением определителя по нулевым элементам соответствующей строки (столбца).

6. Если к элементам некоторого ряда (строки или столбца) прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится:

.

Чтобы доказать это свойство, нужно разложить определитель в правой части по элементам первого столбца и учесть третье свойство.

7. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ряда равна нулю. Например, .

Рассматриваемое свойство доказывается разложением определителя по элементам второго ряда с последующей заменой его элементов на соответствующие элементы первого ряда.

Приведенные выше свойства для определителей третьего порядка доказываются проверкой.