Метод Гаусса. Здесь коэффициенты и свободные члены – заданные числа

Дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными

(20)

Здесь коэффициенты и свободные члены – заданные числа. Будем считать, что число уравнений не больше числа неизвестных (случай требует особого рассмотрения).

Система (20) называется совместной, если она имеет решение, т. е. существуют числа , удовлетворяющие всем уравнениям системы. Система называется несовместной, если она не имеет решения. Две системы называются равносильными (эквивалентными), если любое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Следующие преобразования, называемые элементарными, переводят заданную систему в равносильную (эквивалентную) ей:

· перестановка любых двух уравнений системы;

· умножение любого уравнения системы на ненулевое число;

· прибавление к обеим частям данного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое ненулевое число.

Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится уравнение вида , то это соотношение отбрасывается, так как ему удовлетворяют любые значения неизвестных (что приводит к уменьшению числа уравнений системы). Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится соотношение , т. е. противоречивое соотношение, которое не может быть выполнено, то система (20) является несовместной.

Метод Гаусса заключается в следующем. Пусть (если , то переставим уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент при первом неизвестном не равнялся нулю или с этой же целью перенумеруем неизвестные, что приведет к перестановке соответствующих столбцов коэффициентов). Из всех уравнений, кроме первого, в системе (20) исключим неизвестную , для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и т. д. Тогда придём к системе вида

Пусть (если , то снова переставим уравнения или перенумеруем неизвестные ). Теперь аналогично предыдущему из всех уравнений, кроме первого и второго, исключим . Если система (20) совместна, т. е. при указанных преобразованиях в ней не окажется противоречивого соотношения , процесс продолжим. В конечном счёте путём вышеуказанных преобразований придём к одному из следующих случаев:

· к ступенчатой системе

(21)

здесь число уравнений , так как система содержит неизвестные (если не входят в систему (21), то их не будет и в исходной системе (20));

· к треугольной системе

(22)

В системах (21), (22) по построению все коэффициенты отличны от нуля. В случае системы (20), приведённой к системе (22), далее поступим так: из последнего уравнения (22) найдем ; из предпоследнего найдем , затем , и, наконец, , т. е. найдём все искомые неизвестные.

Итак, в этом случае система (20) имеет единственное решение. Определитель преобразованной системы (22) обозначим . Он равен

0.

В последнем легко убедиться, разложив этот определитель по элементам первого столбца, в котором только один элемент () отличен от 0, и разложив аналогично оставшиеся миноры также по элементам первого столбца. Определитель исходной системы (20), когда , обозначим D. Он равен , т. е. может отличаться лишь знаком от . В самом деле, прибавлению к одному из уравнений системы (20) другого уравнения, умноженного на определённое число, отвечает соответствующая операция над строками определителя D, которая не изменяет этот определитель. Перестановке уравнений в исходной системе отвечает перестановка строк в определителе системы а перенумерации неизвестных – перестановка столбцов, каждый из которых изменит лишь знак определителя. Как видно из предыдущей формулы, , следовательно, и . Итак, определитель системы (20) при отличен от нуля, если эта система приводится к треугольной системе (22). Таким образом, при система (20), приводящаяся к треугольной системе, имеет единственное решение и ее определитель отличен от нуля.

Пусть система (20) приводится к ступенчатой системе (21). Перенесем в ее правую часть все слагаемые, содержащие неизвестные ,

(23)

В этой системе всем неизвестным придадим произвольные (по нашему выбору) значения. Тогда в правых частях (23) будут известные числа, и из последнего уравнения найдём , из предыдущего – и т. д., найдём . Так как значения выбраны нами произвольно, то система (23), следовательно, и (20), имеет бесконечное множество решений.

Итак, система (20), приводимая к ступенчатой системе, имеет бесконечное множество решений.