С неизвестными. Матричный метод решения

Дана система уравнений

, (7)

где – искомые неизвестные, – заданные числа, называемые коэффициентами уравнений системы, – заданные числа, называемые свободными членами системы уравнений. Нужно найти .

Введём три матрицы

, (8)

, (9)

. (10)

называется матрицей коэффициентов системы (7), – матрицей неизвестных, – матрицей свободных членов. Определитель матрицы называется определителем системы и обозначается . Итак, определитель системы (7) равен

. (11)

Возьмём произведение матриц (8) и (9). Так как – столбцевая матрица, то это произведение также представляет собой столбцевую матрицу

.

Элементы этого произведения равны согласно системе (7) свободным членам соответствующих уравнений этой системы, т. е. соответствующим элементам матрицы . Следовательно, эти две матрицы равны друг другу. Таким образом,

. (12)

Это есть матричная запись системы (7).

Пусть определитель системы (7), т. е. определитель (11), отличен от нуля. Тогда по известной матрице (8) коэффициентов системы (7) найдём для неё обратную матрицу . На эту матрицу (все элементы которой известны) умножим обе части (12), считая матрицу первой матрицей в произведениях, и получим

. (13)

Согласно первому свойству умножения матриц, левая часть формулы (13) равна , но так как , , то левая часть формулы (13) равна . Таким образом,

. (14)

Правая часть формулы содержит известные матрицы. Найдём произведение . Это будет столбцевая матрица с известными элементами, но эта матрица по формуле (14) равна матрице неизвестных . Поэтому их соответствующие элементы равны друг другу. Приравняв эти элементы, найдём неизвестные .