Определители высших порядков

Определитель четвёртого порядка содержит 16 элементов и обозначается

.

Как и раньше, элементы этого определителя обозначаются , где – номер строки, – номер столбца, которым принадлежит элемент , , . Минором для элемента определителя D называется определитель третьего порядка, получаемый вычёркиванием строки и столбца, которым принадлежит элемент . Зная этот минор, определим алгебраическое дополнение для элемента определителя четвёртого порядка

. (1)

Определителем четвёртого порядка называется число, определяемое формулой

(2)

Таким образом, определитель четвёртого порядка выражается через определители третьего порядка. Аналогично, с помощью определителя четвёртого порядка введём понятие определителя пятого порядка, шестого порядка и т. д. Зная определение определителя ()-го порядка, введём понятие определителя -го порядка

(3)

Здесь – алгебраические дополнения элементов первой строки . Эти алгебраические дополнения по формуле (1) выражаются через миноры для соответствующих элементов первой строки. Миноры – определители ()-го порядка. Таким образом, определитель -го порядка выражается по формуле (3) через определители ()-го порядка. Соотношение (3) – разложение определителя -го порядка по элементам первой строки.

Элементы определителя образуют его главную диагональ. Можно показать (принимается без доказательства), что определитель раскладывается по элементам любой строки или любого столбца. Например, разложение определителя по элементам -й строки имеет вид

(4)

Разложение по элементам -го столбца имеет вид

(5)

Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.