Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

Поставим в соответствие системе (20) две матрицы

и .

Матрица называется основной матрицей системы, называется расширенной матрицей системы (20). Элементарным преобразованиям над (20) отвечают соответствующие преобразования над строками матриц и . Матрица, получаемая из данной путём элементарных преобразований над строками, а также перестановкой столбцов, называется матрицей, эквивалентной данной. Основные матрицы систем (21) и (22) называются соответственно ступенчатой и треугольной.

Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю, и ненулевой, если она содержит хотя бы один отличный от нуля элемент. Например, если , , …, , , то первая строка матрицы будет нулевой, а первая строка матрицы будет ненулевой.

Ранг матрицы – это такое число , что по крайней мере один определитель порядка , получаемый из этой матрицы при удалении некоторого числа строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а все определители -го порядка равны нулю. Без доказательства отметим, что при данное определение ранга матрицы равносильно другому, используемому здесь определению: рангом матрицы называется число ненулевых строк в эквивалентной треугольной или ступенчатой матрице. Ясно, что для определения ранга матрицы сначала её нужно преобразовать методом Гаусса и привести к треугольной или ступенчатой матрице, эквивалентной исходной.

Пусть система уравнений (20) преобразована методом Гаусса и приведена либо к системе (21), либо к системе (22). При этих преобразованиях происходят соответствующие преобразования основной и расширенной матриц системы (20). Совместность системы (20) равносильна отсутствию в преобразованной системе (21) или (22) противоречивого соотношения (здесь равные нулю коэффициенты образовали бы нулевую строку основной матрицы преобразованной системы, а эти же коэффициенты и число - ненулевую строку расширенной матрицы этой системы). Это в свою очередь равносильно совпадению числа ненулевых строк основной и расширенной матриц преобразованной системы (21) или (22). А это последнее, в свою очередь, равносильно совпадению рангов основной и расширенной матриц исходной системы. Итак, справедлива

Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна.