Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр

Поверхностью второго порядка в пространстве называется поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат Здесь – действительные числа, называемые коэффициентами. В зависимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность или точку (например, уравнению отвечает точка ) или пару плоскостей (например, уравнению отвечает пара плоскостей и ), а также может не определять никакого множества точек (например, ). Рассмотрим частные виды поверхностей второго порядка.

Сфера с центром в точке и радиусом имеет уравнение где – заданные числа (см. рис. 32). Раскрыв скобки и перенеся число в левую часть, получим Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно в котором коэффициенты при равны между собой, а члены с произведениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет поверхность).

Цилиндры второго порядка. Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому направлению и пересекающей данную линию. Последняя называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая – образующей.

Пусть, например, образующие цилиндрической поверхности параллельны оси и направляющей служит эллипс (рис. 33) в плоскости с уравнением

. (57)

Эта поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть – произвольная точка этого цилиндра, а точка – проекция на плоскость Ясно, что абсциссы и ординаты точек и совпадают. Так как точка лежит на эллипсе, то её координаты и удовлетворяют уравнению (57). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты и точки цилиндра. Значит, (57) есть уравнение цилиндра.

Итак, уравнение (57) на плоскости определяет эллипс, а в пространстве – эллиптический цилиндр с образующей, параллельной направляющей которого является указанный эллипс.

Изобразите самостоятельно гиперболический цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси а также параболический цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси