Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая уравнением

(58)

где – заданные положительные числа. Исследуем форму этой поверхности методом сечений.

При сечении поверхности (58) плоскостью ( – постоянная, ), проходящей через точку на оси параллельно плоскости получим кривую, которая определяется совокупностью двух уравнений

или

В первом уравнении перенесём вправо и поделим обе части уравнения на получим

Эта система уравнений определяет эллипс с полуосями и расположенный в плоскости При значения и очевидно, достигают своих наибольших значений и т. е. на плоскости получаем эллипс наибольших размеров. При значения и достигают наименьших значений и Это означает, что плоскости и имеют с эллипсоидом по одной общей точке и соответственно. При эллипсоид с плоскостью общих точек не имеет. Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостью () и плоскостью ().

При имеем эллипсоид вращения (рис. 34). Эта поверх-ность получается при вращении вокруг оси эллипса расположен-ного в плоскости

§20. Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

(59)

где – заданные положительные числа (см. рис. 35). Исследовав форму этой поверхности, как и эллипсоида, методом сечений, получим, что при сечении плоскостью ( – постоянная) получается эллипс с полуосями и Очевидно, что при т. е. конус (59) имеет с плоскостью одну общую точку – начало координат. С уве-личением значения и увеличи-ваются. Покажем теперь, что при сечении поверхности (59) плоскостью с урав-нением ( – постоянная), прохо-дящей через получается пара прямых, проходящих через начало координат.

В самом деле, при таком сечении получается линия, определяемая системой уравнений

Заменим в первом уравнении на получим

Но первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений

и

Поэтому последняя система равносильна совокупности двух систем

и

Все уравнения в этих системах определяют плоскости, проходящие через начало координат. Значит, каждая система определяет в пространстве прямую, проходящую через начало координат. При получаем конус вращения (вокруг оси ).