Понятие о многомерном евклидовом пространстве

Известно, что положение точки на прямой определяется одним числом – её координатой, положение точки на плоскости определяется двумя числами – координатами этой точки, а положение точки в пространстве – трёмя числами, её координатами. Обобщая эти представления, можно вести 4-мерное и т. д., -мерное пространство. Таким путём можно построить -мерную геометрию. Известно, что стереометрия основывается на системе аксиом – аксиоматике. Аналогично можно построить многомерную евклидову геометрию, взяв за основу аксиоматику, аналогичную аксиоматике стереометрии. Но исторически многомерная геометрия была создана иначе, а именно, не на основании аксиом, аналогичных аксиомам стереометрии, а на основании так называемых координатных аксиом. Запишем их.

Каждой точке отвечает определённая последовательность чисел – координат этой точки; в этом случае пишут .

Каждой паре точек и ставится в соответствие положительное число, называемое расстоянием между этими точками и определяемое следующим образом:

.

Геометрическими считаются лишь такие соотношения, которые связывают расстояния между точками и сохраняются при умножении всех расстояний на одно и то же число (как и при преобразовании подобия в стереометрии).

Теория, основанная на указанных аксиомах, называется -мерной евклидовой геометрией. Множество точек , для которых справедливы эти аксиомы, называется -мерным евклидовым пространством.

Пусть – две точки в пространстве с координатами и . Вектором, у которого начало находится в точке , а конец – в точке , назовём величину, обозначаемую (), координаты которой равны разностям координат конца и начала (как в трёхмерном пространстве):

.

Вектор называется нулевым, если все его координаты равны нулю, в противном случае это ненулевой вектор.

Пусть даны два вектора и в -мерном евклидовом пространстве. Они называются равными, если все их соответствующие координаты равны друг другу, т. е. для всех .

Суммой этих векторов называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой . Иначе говоря, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются. Аналогично определяется разность векторов.

Произведением на число l называется вектор , т. е. при умножении вектора на число на это число умножаются все его координаты.

Скалярным произведением векторов и называется число

. (55)

Запишем (55) для случая, когда , т. е. заменим на : . Квадратный корень из этого числа называется нормой вектора и обозначается

. (56)

Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Пусть в рассматриваемом -мерном пространстве заданы векторы , , … , которые называются базисными векторами. Норма каждого из них равна единице, это видно из формулы (56). Кроме того, каждые два из этих векторов ортогональны. Указанные векторы умножим соответственно на – координаты вектора – и сложим полученные произведения. Получим . Итак, . Это есть разложение вектора по базисным векторам в -мерном пространстве.

Как и в трёхмерном пространстве, каждой точке будем ставить в соответствие её радиус-вектор , концом которого является точка , а началом – точка .

Пусть в -мерном пространстве заданы точка своим радиус-вектором и ненулевой вектор . Прямой в этом пространстве называется множество точек, радиус-векторы которых определяются формулой , где – скаляр (параметр), который принимает любые действительные значения.

Пусть в пространстве заданы точка своим радиус-вектором и два ненулевых вектора и , для которых не выполняются условия коллинеарности .

Плоскостью в -мерном пространстве называется множество точек, радиус-векторы которых определяются формулой , где , – действительные скалярные величины, принимающие любые действительные значения.

Аналогично можно ввести понятие сферы в -мерном пространстве.