Кривые второго порядка. Окружность

Кривой второго порядка называется линия на плоскости определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат , вида

. (32)

Здесь , , , , , –заданные числа, называемые коэффициентами уравнения. Cчитаем, что в этом уравнении коэффициенты , , одновременно не обращаются в нуль, поскольку в противном случае (32) обращается в уравнение первой степени.

Рассмотрим отдельные случаи уравнения (32) и соответствующие им кривые.

Окружность. Как мы уже знаем, окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение

. (33)

В уравнении (33) в левой части раскроем скобки и получим

. (34)

В уравнении (34) коэффициенты при квадратах текущих координат равны друг другу. Кроме того, в этом уравнении отсутствует член, содержащий произведение текущих координат. Легко проверить, что если в уравнении (32) , , то оно будет определять окружность в плоскости (если уравнению отвечает множество точек). Чтобы убедиться в сказанном, достаточно уравнение (32) поделить на , после чего в левой части выделить полные квадраты членов, содержащих , и полные квадраты членов, содержащих . Таким образом перейдём к уравнению вида (33):

.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эту постоянную обозначим через , , а фокусы – через и . Расстояние между ними . Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка, соединяющего фокусы. При указанном выборе осей координаты фокусов , . Пусть – произвольная точка эллипса, соединим ее с и (рис. 24). По определению эллипса сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна , т. е.

. (35)

Из треугольника видно, что . Запишем расстояния через координаты:

, . (36)

Эти выражения подставим в (35) и получим

.

Последнему соотношению удовлетворяют координаты любой точки эллипса, следовательно, это соотношение – уравнение эллипса. Нужно его упростить. Второй корень перенесём из левой части вправо и возведём обе части уравнения в квадрат. Тогда будем иметь

,

.

После приведения подобных членов в правой части оставим корень с множителем, остальные слагаемые перенесём влево и полученное выражение возведём в квадрат. Обозначим (так как ), считая После простых преобразований получим соотношение

. (37)

Такое уравнение эллипса называется каноническим. Имея уравнение (37), выясним форму эллипса.

Пусть – произвольная точка эллипса. На плоскости возьмём точку , имеющую ту же абсциссу , что и точка М, а ординату , отличающуюся от ординаты точки М только знаком. Точка симметрична относительно оси Ox. Уравнение (37) содержит только во второй степени и . Точка лежит на эллипсе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению эллипса, но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты точки , так как абсцисса точки М равна абсциссе , а ординаты различаются лишь знаком. Получаем, что точка лежит на эллипсе, но сказанное относится к произвольной точке эллипса, следовательно, эллипс будет симметричным относительно оси Ox. Так как в (37) содержится только в квадрате, рассуждая аналогично, покажем, что ось Oy также является осью симметрии эллипса, следовательно, начало координат – центр симметрии эллипса. В силу симметрии форму эллипса достаточно выяснить для первой четверти плоскости для которой и . Для таких значений и уравнение (37) запишем так:

. (38)

Получили выражение для ординаты точки эллипса с абсциссой Когда абсцисса точки принимает значение , то согласно (38) ее ордината . Точка находится на Oy в точке . С увеличением абсциссы точки ордината этой точки согласно (38) уменьшается. Точка опускается и при ордината этой точки будет равна нулю, совпадет с точкой . Остальные части эллипса вычерчиваются по симметрии. Точки называются вершинами эллипса, а числа и – большой и малой осями эллипса соответственно (см. рис. 24).