Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 25). Обозначим эту постоянную , а фокусы – через и . Расстояние между ними . Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка . Тогда фокусы имеют координаты , . Пусть – произвольная точка гиперболы, тогда по определению

. (39)

Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая часть отрицательна. Расстояния и , как и раньше, выражаются формулами (36). Подставим (36) в (39):

. (40)

Получили уравнение гиперболы. Как видно из рис. 25, есть длина стороны треугольника , и она больше , поэтому – действительное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упростим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое уравнение гиперболы

(41)

Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае эллипса). Так как (41) содержит и только во второй степени, то Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому точка пересечения этих осей – начало координат – центр симметрии гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмотреть картину в первой четверти плоскости, где и . Для таких значений , из уравнения (41) выразим и получим

. (42)

Эта формула выражает ординату точки гиперболы, абсцисса которой есть . При ордината , получим точку гиперболы. С увеличением абсциссы точки её ордината согласно (42) увеличивается. Точка уходит вправо, неограниченно поднимаясь вверх. Остальные части гиперболы строятся по симметрии.

Определим вид гиперболы, когда неограниченно увеличивается. Возьмём прямую с уравнением

(43)

проходящую через точки и Пусть – точка прямой (43), имеющая ту же абсциссу x, что и точка M гиперболы. Ординаты этих точек равны и , так как координаты этих точек удовлетворяют (43) и уравнению гиперболы (42). Разность между указанными ординатами равна расстоянию между точками и , следовательно,

.

Для положительных знаменатель с увеличением неограниченно увеличивается, поэтому дробь убывает. Таким образом, стремится к нулю, т. е. точка гиперболы приближается к точке прямой. В силу симметрии относительно такая же картина будет в третьей четверти плоскости.

Возьмём теперь прямую

. (44)

Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку и через точку , симметричную с относительно Ox. В силу симметрии гиперболы относительнооси абсцисс ясно, что гипербола по отношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой (43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.

При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимптоты. Точки и пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно , называется действительной осью гиперболы; и называется мнимой осью.