![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 25). Обозначим эту постоянную
, а фокусы – через
и
. Расстояние между ними
. Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка
. Тогда фокусы имеют координаты
,
. Пусть
– произвольная точка гиперболы, тогда по определению
. (39)
Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая часть отрицательна. Расстояния и
, как и раньше, выражаются формулами (36). Подставим (36) в (39):
. (40)
Получили уравнение гиперболы. Как видно из рис. 25, есть длина стороны
треугольника
, и она больше
, поэтому
– действительное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упростим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое уравнение гиперболы
(41)
Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае эллипса). Так как (41) содержит и
только во второй степени, то Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому точка пересечения этих осей – начало координат
– центр симметрии гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмотреть картину в первой четверти плоскости, где
и
. Для таких значений
,
из уравнения (41) выразим
и получим
. (42)
Эта формула выражает ординату точки
гиперболы, абсцисса которой есть
. При
ордината
, получим точку
гиперболы. С увеличением абсциссы точки
её ордината согласно (42) увеличивается. Точка
уходит вправо, неограниченно поднимаясь вверх. Остальные части гиперболы строятся по симметрии.
Определим вид гиперболы, когда неограниченно увеличивается. Возьмём прямую с уравнением
(43)
проходящую через точки и
Пусть
– точка прямой (43), имеющая ту же абсциссу x, что и точка M гиперболы. Ординаты этих точек равны
и
, так как координаты этих точек удовлетворяют (43) и уравнению гиперболы (42). Разность между указанными ординатами равна расстоянию между точками
и
, следовательно,
.
Для положительных знаменатель с увеличением
неограниченно увеличивается, поэтому дробь убывает. Таким образом,
стремится к нулю, т. е. точка
гиперболы приближается к точке
прямой. В силу симметрии относительно
такая же картина будет в третьей четверти плоскости.
Возьмём теперь прямую
. (44)
Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку и через точку
, симметричную с
относительно Ox. В силу симметрии гиперболы относительнооси абсцисс ясно, что гипербола по отношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой (43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.
При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимптоты. Точки и
пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно
,
называется действительной осью гиперболы;
и называется мнимой осью.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 555 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!