Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
При анализе нелинейных систем управления широко используются передаточные функции и их частный случай – комплексные коэффициенты передачи, чаще в виде частотных характеристик, для аналитического и численного исследования систем. Описание нелинейных систем на основе функциональных рядов Вольтерра приводит к многомерным передаточным функциям, изображениям т.н. ядер ряда Вольтерра.
Зачастую, ввиду сложности анализа системы с нелинейностью общего вида, он проводится тогда, когда нелинейность является существенной. Метод ряда Вольтерра позволяет исследовать системы с мягкими инерционными нелинейностями и может занять промежуток между методами анализа линейных систем и методами анализа нелинейных систем с существенными нелинейностями.
Докажем теорему о представлении нелинейной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением довольно общего вида, в виде последовательно-параллельного соединении линейных и нелинейной инерционной частей на основе аппарата рядов Вольтерра
Пусть имеется нелинейная система с одним входом и одним выходом, описываемая оператором:
y (t) = N { x (t)}, (1.20)
здесь: x (t) – входной сигнал системы;
y (t) – выходной сигнал системы;
N {} – нелинейный оператор.
Тогда, при довольно слабых требованиях, предъявляемых к виду оператора, выходной сигнал системы может быть представлен в виде:
, (1.21)
здесь q k(τ1, τ2, …, τk) – ядро ряда Вольтерра k -й степени, k -мерная весовая функция. Как видно, ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки, широко используемого в теории линейных систем. В результате такого представления оператора, можно построить модель системы в виде параллельного соединения звеньев, соответствующих каждому из слагаемых ряда. Скорость сходимости определяет число звеньев, достаточных для моделирования системы с требуемой точностью. Ясно, что чем меньше абсолютная величина x (t), тем меньше членов потребуется.[10]
Если применить к каждому ядру преобразование Лапласа соответствующего порядка, то схема примет вид параллельного соединения звеньев с многомерными передаточными функциями:
Рисунок 20 - Модель нелинейной системы в виде параллельной структуры звеньев с многомерными передаточными функциями
W (s) – передаточная функция линейной части системы
Рассмотрим нелинейную систему, описываемую дифференциальным уравнением общего вида, моделирующим широкий класс систем и объектов:
L [ y (t)] + D (y, y ', y '', …, y (n)) = x (t), (1.22)
где: x (t) – воздействие на систему;
y (t) – реакция системы;
L [ y (t)] – линейный оператор;
D (y, y ', y '',…, y (n)) – нелинейная, гладкая, дифференцируемая функция. Предполагается, что D (.) не содержит линейные члены, они учтены в L [.].
Сформулируем и докажем теорему, позволяющую детализировать структуру системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.22).
Теорема. Ядра ряда Вольтерра системы, описываемой уравнением (1.22), можно представить в виде:
W 1(s) = L -1(s) (1.23)
и
, (1.24)
где: L -1(s) = W (s) – оператор, обратный оператору L (s), передаточная функция линейной части системы.
Доказательство: В соответствии со схемой рис. 20 представим реакцию системы в виде:
y (t) = y 1 + y 2 + y 3 +..., (1.25)
здесь:
y 1 = y 1(t) – реакция линейной части системы;
y 2 = y 2(t) – реакция нелинейного элемента второго порядка и т.д.
Разложим в кратный ряд Тейлора функцию D (y, y ', y '', …, y (n)):
, (1.26)
где коэффициенты в суммах находятся дифференцированием D (.) по соответствующим аргументам.
Подставим компоненты решения (1.25) в (1.26), а результат в (1.22). Для определения первого ядра приравняем в полученном уравнении члены первого порядка:
L [ y 1] = x (t). (1.27)
Отсюда
y 1(t) = L -1[ x (t)], (1.28)
или, в операторной форме:
Y 1(s) = L -1(s) X (s) = W (s) X (s). (1.29)
Поэтому, изображение первого ядра, т.е. передаточная функция линейной части системы, будет равно:
W 1(s) = W (s) = L -1(s). (1.30)
Сгруппируем и приравняем в члены второго порядка:
. (1.31)
Поскольку Y 1(s) = L -1(s) X (s), а по теореме о последовательном соединении нелинейной и линейной частей изображение результата действия линейного оператора на компоненту решения второго порядка имеет вид:
L [ y 2] → L (s 1 + s 2) Y 2(s 1, s 2), (1.32)
то
. (1.33)
Отсюда
Y 2(s 1, s 2) = L -1(s 1) L -1(s 2) G 2(s 1, s 2) L -1(s 1 + s 2) X (s 1) X (s 2), (1.34)
где
. (1.35)
Из (1.34) и (1.35) следует
W 2(s 1, s 2) = L -1(s 1) L -1(s 2) G 2(s 1, s 2) L -1(s 1 + s 2), (1.36)
или, в других обозначениях:
W 2(s 1, s 2) = W 1(s 1) W 1(s 2) G 2(s 1, s 2) W 1(s 1 + s 2). (1.37)
Изображение G 2(s 1, s 2) инерционно-нелинейной компоненты можно назвать ядрышком второго порядка.
Из (1.37) следует, что структурную схему ветви второго порядка системы, описываемой (1.22), можно представить в виде:
Рисунок 21 - Структура модели нелинейной компоненты второго порядка, порождаемой уравнением (1.22). Ядро дважды осуществляет линейное преобразование: до нелинейного и после него
Т.о. составляющая второго порядка выходного сигнала обязательно является результатом линейного преобразования выходного сигнала ядрышка G 2(s 1, s 2).
Двумерная передаточная функция G 2(s 2, s 1), совершающая нелинейное преобразование второго порядка, определяется частными производными второго порядка функции D (.) и операциями дифференцирования – см. (1.26) и (1.35). Далее доказательство проведем по индукции.
Пусть передаточная функция k -1 порядка для k > 2 имеет вид:
. (1.38)
Группируя и приравнивая члены k -го порядка, получим:
. (1.39)
В (1.39) берется сумма всех тех произведений компонент решения (6) и их производных, сумма нижних индексов которых равна r 1 + r 2 + … + rr = k.
Индексы r 1, r 2, …, rr могут принимать значения от 1 до (k -1). Значения индексов j 1, j 2, …, jr (степеней производных) меняются от 0 до n каждое. Поскольку по условию задачи разложение D (y, y ', y '', …, y (n)) начинается с членов второго порядка (6), то в произведениях суммы уравнения (1.39) присутствуют лишь отклики yi (j) с порядком, меньшим k (i < k).
Это значит, что k -я компонента решения yk выражается из (1.39) только через младшие компоненты.
Сгруппируем компоненты k -й степени с учетом того, что изображения младших ядер отвечают (1.39):
(1.40)
Поскольку каждая передаточная функция вида Wrm (sr r r (m -1)+1, sr r r (m -1)+2, …, srm) содержит в соответствии с (1.38) в качестве сомножителя произведение и сумма индексов r 1 + r 2 + … + r (m -1) + rm +... + rr равна k, то каждое слагаемое суммы в (1.40) содержит произведения и которые могут быть вынесены за скобки. Поэтому
, (1.41)
где:
(1.42)
Наконец, из (1.42) видно, что
. (1.43)
Теорема доказана.
Рисунок 22 - Структура изображения ядра n -го порядка
Как видно на рис. 22, алгоритм преобразования сигнала компонентой схемы n -го порядка состоит в том, что вначале входной сигнал фильтруется линейной частью системы, затем следует нелинейное инерционное преобразование, продукты которого вновь фильтруются линейной частью. Нелинейное инерционное преобразование определяется (23) и состоит из комбинации безинерционных операций возведения в степень и перемножения сигналов, прогнозирующей операции дифференцирования и инерционной операции линейного преобразования сигнала, определяемой переходной функцией линейной части системы.Из доказанной теоремы следует, что схема рис. 20 может быть детализирована следующим образом:
Рисунок 23 - Детализация структуры системы, описываемой уравнением (1.22).
Выходной сигнал является результатом фильтрации линейной частью системы как входного сигнала, так и продуктов его нелинейного преобразования. На инерционную нелинейность входной сигнал системы поступает после предварительной его фильтрации линейной частью системы [11]
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 2203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!