Методы анализа нелинейных систем

Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы: точные и приближенные. К точным методам относится метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова. Приближенные методы основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической или статистической линеаризации. На практике используют комбинацию различных методов. Следует заметить, что в обозримом будущем имеется необходимость дальнейшего развития теории и практики нелинейных систем.

Рассмотрим следующие методы анализа нелинейных систем:

1) Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной.

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0). Движение системы определяется изменением ее координат - X_i в функции времени. Значения X_i в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 10).

Рисунок 10

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.[8]

Пример

Изобразить фазовые траектории для нелинейной системы с тремя различными нелинейностями - двухпозиционное реле, трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (±0,2) и двухпозиционное реле с гистерезисом (±0,1), если линейная часть имеет передаточную функцию

.

Решение

В соответствии с заданием модель нелинейной системы можно представить в виде рис.11.

Примем для всех нелинейностей величину сигнала на выходе реле ±2.

Рисунок 11 - Модель нелинейной САУ

Тогда уравнения состояния запишутся в виде

Разделив второе из уравнений на первое, получим уравнение фазовой траектории

В зависимости от того, с какой стороны от линии переключения реле находится изображающая точка, решения дифференциального уравнения будут следующие:

справа от линии переключения при x1 > 0 x₁ = 4 ln |x₂ + 10| - 0,4x₂ + c₁;

cлева от линии переключения при x1 < 0 x₁ = 4 ln |x₂ - 10| - 0,4x₂ + c₂;

для трехпозиционного реле движение изображающей точки в пределах зоны нечувствительности -0,2<x1<+0,2 соответствует уравнению x₁ = - 0,4x₂+c₃,

где с₁, с₂ и с₃ - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

На рис. 9 изображены фазовые траектории нелинейной САУ с различными нелинейными элементами. Припасовывание или сшивание участков фазовых траекторий происходит по линиям переключений.

Рисунок 12 - Фазовые траектории релейных систем

Анализируя фазовые траектории, можно сделать следующие выводы:

1. при взятых начальных условиях все системы устойчивы. Причем системы с двухпозиционными реле устойчивы "в большом";

2. у систем с двухпозиционными реле наблюдаются устойчивые колебания. Абсцисса предельного цикла определяет амплитуду колебаний А_о, а частота может быть определена из ординаты предельного цикла А_оω_о;

3. система с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности имеет "особый отрезок". Система может после прохождения переходного процесса занять любое значение внутри зоны нечувствительности, как показано на рис.9.

Таким образом, метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.[1]

2) Метод гармонической линеаризации.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Метод является приближенным и может быть использован только в случае, когда линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники. При этом линейная часть может быть описана дифференциальным уравнением любого порядка, а нелинейный элемент может быть как однозначным, так и многозначным. Метод может быть эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.

В основе метода гармонической линеаризации лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой А, т.е. x = А sinωt. В предположении, что линейная часть является фильтром низких частот, спектр выходного сигнала линейной части ограничивается только первой гармоникой, определяемой рядом Фурье (в этом и заключается приближенность метода, т.к. высшие гармоники выбрасываются из рассмотрения). Тогда связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента представляется в виде передаточной функции:

(1.6)

Уравнение (1.6) называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q' - коэффициентами гармонической линеаризации, зависящие от амплитуды А и частоты ω входного воздействия. Следует заметить. что для статических однозначных коэффициент q'(А)=0. Подвергнув уравнение (1.6) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора p на jω (p = jω), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W_нэ(jω,A) = q + jq' (1.7)

После того, как проведена гармоническая линеаризация, для анализа и синтеза нелинейных САУ возможно применение всех методов, применяемых для исследования линейных систем, в том числе и использование различных критериев устойчивости. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических (автоколебательных) режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой ω₀ и амплитудой А₀. Рассмотрим нелинейную систему, включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

(1.8)

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи (1.7). Расчетная структурная схема нелинейной системы приобретает вид рис.13.

Рисунок 13 - Структурная схема нелинейной САУ

Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем. Если линейная часть описывается передаточной функцией (1.8), а нелинейный элемент (1.7), то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q'(ω,A)) = 0 (1.10)

На основании критерия устойчивости Михайлова границей устойчивости будет прохождение годографа Михайлова через начало координат. Из выражений (1.10) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (1.10) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. это уравнение записать в виде:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q'(ω,A)) = Re(ω₀,A₀,K) +Jm(ω₀,A₀,k) = 0 (1.11)

где ω_o и A_o - возможные частота и амплитуда автоколебаний.

Тогда, приравнивая к нулю действительную и мнимую части уравнения (1.11)

(1.12)

можно построить границу устойчивости (D-разбиение) по интересующему нас параметру k (рис.11).

Рисунок 14 - D-разбиение плоскости параметра К нелинейной САУ

Анализируя рис.14 можно заключить, что в области 1 автоколебания невозможны и критический коэффициент равен к_кр, а в области 2 колебания сходятся к величине амплитуды A_o и частоты ω_o (автоколебательный режим) в зависимости от начальных условий. По графику рис.11 можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Чаще на практике используется графоаналитический метод определения возможных амплитуд и частот автоколебаний в нелинейных системах. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [1,j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованной нелинейной системе (рис.11), т.е.

1 + W_лч(jω)*W_нэ(jω,A)=0 (1.13)

или W_лч(jω)=-1/W_нэ(jω,A). (1.14)

Решение уравнения (1.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wлч(jω) и годографа обратной характеристики нелинейной части -1/Wнэ(jω,А) (рис. 15). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рисунок 15- Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой ω₀ и амплитудой А₀ требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части М, соответствующая увеличенной амплитуде А₀+ΔА по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы, в противном случае автоколебания неустойчивые. На рис. 15 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания. Параметры автоколебаний на входе нелинейного элемента определяются в точке пересечения годографов: частота из W_лч(jω), а амплитуда из W_нэ^-1(A). Исследование нелинейных систем возможно по логарифмическим частотным характеристикам (метод шаблонов). Метод гармонического баланса позволяет вести синтез нелинейных САУ на обеспечение требуемых показателей качества меняя параметры или линейной части, или нелинейного элемента.[7]

Пример

Определить возможную частоту автоколебаний при введении в САУ, имеющей ЛЧХ вида (рисунок 16), однозначной нелинейности в виде двухпозиционного реле.

Рисунок 16 - ЛЧХ линейной части

Решение Известно, что характеристика - 1/W_нэ(jω,А) однозначного нелинейного элемента (двухпозиционного реле) полностью располагается на отрицательной действительной полуоси, поэтому а.ф.х. линейной части W_лч(jω) может ее пересечь только при угле -180°. Частота возможных автоколебаний определяется по W_лч(jω), а л.ф.х. (рис.7.8) показывает, что фазовый угол сдвига -180° происходит на частоте ω = 300 рад/с. Это и есть возможная частота автоколебаний при введении в САУ однозначной нелинейности.

Метод гармонической линеаризации используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний. [8]

3) Метод статистической линеаризации.

Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рисунок 17). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида

, (1.15)

используется два критерия эквивалентности.

Рисунок 17

Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.

Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.

Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

; (1.16)

, (1.17)

где ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;

─ центрированная случайная составляющая.

Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:

, (1.18)

где ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию; ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.

Воспользуемся первым критерием эквивалентности:

. (1.19)

Из этих уравнений находим

;

,

где ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

- коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).

По второму критерию эквивалентности:

;

;

;

;

Для определения и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:

;

;

; .

При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:

;

Определив величины

; .

для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.

Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.19)

Рисунок 19 - Характеристика релейного типа:

;

коэффициенты равны:

; ; ;