Линеаризация дифференциальных уравнений САУ

Исходная математическая модель САУ является нелинейной. Отсутствие однозначных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не позволяет создать какие-либо общие эффективные методы анализа и синтеза САУ. Именно это и послужило причиной развития идеи линеаризации, т.е. замены исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных условий и параметров. Линеаризация проводится по методу малого отклонения, который основан на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.

Рассмотрим принцип линеаризации на примере системы, у которой входной и выходной сигналы связаны нелинейной статической зависимостью .

Рисунок 3 – Линеаризация статической нелинейности

Пусть в установившемся режиме величина входного сигнала равна и его отклонения от этого значения в переходных процессах достаточно малы.

Разложив нелинейную зависимость в ряд Тейлора в окружности точки установившегося режима и, отбросив члены ряда выше первого порядка малости, получим следующую приближенную зависимость:

, (1.1)

где - значение производной функции по при подстановке в выражение этой производной значения = .

Выражение (1.1) можно переписать в виде:

, (1.2)

где ; ;

.

Проведенная линеаризация имеет простую графическую интерпретацию: она соответствует (рис. 3) замене действительной нелинейной характеристики касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент k в выражении (1.2) равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси . Поэтому его величина может быть найдена простым графическим построением без нахождения аналитического выражения нелинейной зависимости и ее производной.

В более общем случае, система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим производные по времени входного и выходного сигналов:

(1.3)

Разложив нелинейную функцию (2.3) в ряд Тейлора в точке установившегося движения, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращения переменных:

….+ …

+…… ….. , (1.4)

где .., и т.д. – значения производных функции (1.3) полученные при подстановке значений входного и выходного сигналов, соответствующих установившемуся режиму.

Следовательно, процедура линеаризации нелинейных систем дает возможность описать их линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях. Очевидно, что допустимость такой линеаризации ограничена требованием к незначительности отклонений сигналов от их установившихся значений. Кроме того, поскольку такая линеаризация основана на разложении в ряд Тейлора, она применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям. [11]