Полиномиальные операторы Вольтерра-Винера первой кратности

Динамические системы обычно линейны лишь в первом приближении, а дальнейшее более точное исследование требует использования нелинейных уравнений. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и трудно представимы простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, то есть разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом. Одним из таких методов является метод функциональных рядов Вольтерра-Винера, а обобщенные импульсные и спектральные характеристики эволюционных операторов Вольтерра-Винера позволяют исследовать системы с одним входным сигналом и одним выходным сигналом [3].

Пусть X – пространство финитных слева бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси. Полиномиальным эволюционным оператором Вольтерра – Винера степени m будем называть оператор A, определяемый равенством

где - n-я тензорная степень функции x ∈ X,

an – обобщенная функция на пространстве Rn, носитель которой содержится в положительном гипероктанте [0; +∞)n, ∗ – операция свертки, Sn – оператор сокращения переменных степени n:

Полиномиальным эволюционным оператором Вольтерра – Винера удовлетворяют важному условию причинности:

если

Множество всех полиномиальных эволюционных операторов Вольтерра – Винера степени m можно обозначить V_m.

Обобщенную функцию a_n назовем импульсной характеристикой порядка n оператора A, а семейство (a_n) – системой импульсных характеристик оператора A.

Линейный оператор A₁, определяемый равенством

называется первой операторной компонентой оператора A.

Билинейный оператор A₂, определяемый равенством

называется второй операторной компонентой оператора A.

В общем случае, для любого натурального числа n ≤ m определим

полиномиальный оператор A_n,

который будем называть n-й операторной компонентой оператора A.

В случае, когда x₁= x₂=... = x_n= x будем обозначать

xⁿ=(x₁,x₂,..x_n) [3]

Тогда имеем:

и, следовательно,

где Ax – нелинейный эволюционный оператор.

Рассмотрим нелинейный эволюционный оператор А, порожденный уравнением первого порядка x'+ ax² + bx = f, где f – функция переменной t.

Оператор Ax=a₁*x+S₂(a₂* ) обладает следующими импульсными характеристиками

Одним из важных свойств импульсной характеристики оператора А является то, что на ее основе можно получить спектральную характеристику.

Учитывая свойства обобщенного преобразования Лапласа, а также, что , для эволюционных операторов, порожденных рассмотренным выше дифференциальным уравнением первого порядка, получим систему спектральных характеристик.

Спектральная характеристика является немаловажным критерием, по которому можно описать систему, представленную дифференциальным уравнением.

Взяв композиции двух операторов Вольтерра-Винера А и В, т.е. C = B o A и F = A o B, и наложив на них условия

при одновременном выполнении которых, можно получить квазиобратный оператор В

Полиномиальный эволюционный оператор степени r

By – B₁y + B₂y+…+B_ry

для которого выполняется условия:

A₁B₁y = y,

A₂B₁y + A₁B₂y=0;

называется квазиобратным степени r к оператору A.

С помощью треугольника Паскаля можно вычислить количество слагаемых в каждой характеристике квазиобратного оператора В. Элементами этой арифметической структуры являются так называемые биномиальные коэффициенты, которые обозначаются . Комбинаторный смысл биномиальных коэффициентов состоит в том, что они представляют собой количества различных m-членных комбинаций из r-элементного множества без повторений. То есть треугольник Паскаля состоит из чисел, каждое из которых есть количество способов выбрать m объектов из совокупности, в которой таких объектов r штук (m <= r). При этом в треугольнике r – это номер строки, а m – номер элемента в строке (и в том, и в другом случае нумерация начинается с нуля).

Для нахождения симметричных спектральных характеристик квазиобратного оператора В, применим оператор симметризации sym, который определяется следующим образом

где определено соотношением

является обобщенной функцией, и суммирование производится по группе G_m всех перестановок степени n, к спектральным характеристикам , при этом обязательным условием будет являться симметричность спектральных характеристик эволюционного оператора А, т.е. , уже симметричны. Получим следующие симметричные спектральные характеристики , квазиобратного оператора В, порожденного дифференциальным уравнением x'+ ax² + bx = f.[15]