Анализ линейных систем

Математическим аппаратом исследования САУ являются дифференциальные уравнения, которые описывают движение системы и являются уравнениями динамики. Из уравнений динамики, положив все производные равными нулю, можно получить уравнения статики, которые описывают поведение системы в установившемся режиме.

Дифференциальные уравнения САУ и ее элементов, составленные в соответствии с физическими законами их функционирования и факторами, от которых зависят переменные уравнений, практически всегда являются нелинейными. Дифференциальные уравнения САУ, записанные в виде системы уравнений или одного дифференциального уравнения высокого порядка представляют собой математическую модель системы. Математическая модель является основой для анализа свойств системы и степени их соответствия поставленным требованиям.[8]

Существует два основных, тесно связанных между собой, метода анализа линейных систем. Это анализ систем во временной области и анализ систем в частотной области. Рассмотрим метод анализа систем во временной области. Для этого применим определение и свойства импульсной -функции Дирака.

В частности,

, .

Запишем второе из этих свойств - функции в виде:

.

Тогда выходной сигнал линейной системы можно представить следующим образом:

.

Введем функцию , которая представляет собой выходной сигнал системы управления при входном сигнале в виде -функции. Функция называется импульсной переходной характеристикой системы или весовой функцией. Тогда выходной сигнал линейной системы при любом входном воздействии определяется по формуле:

.

Эта формула называется интегралом Дюамеля или интегралом свертки. Ее смысл заключается в том, что выходной сигнал любой линейной системы получается с помощью взвешивания и последующего интегрирования входного сигнала с весовой функцией .

Наиболее прост анализ линейных систем управления в частотной области. Действительно, обозначим преобразование Лапласа от , через , т. е. ; соответственно ; . Учитывая свойство преобразования Лапласа свертки функций, получаем

Если в этом равенстве положить , то , где , , – преобразования Фурье выходного сигнала линейной системы, импульсной переходной характеристики и входного сигнала соответственно.

Функция или , играющая центральную роль в анализе систем, называется передаточной функцией системы управления. Эта комплексная функция действительного аргумента – частоты . Ее модуль называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) системы; аргумент – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Для анализа систем управления часто применяются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАХ):

.

Итак, если известна передаточная функция линейной системы, то задача определения выходного сигнала по входному решается с помощью простого умножения . Необходимо найти .

Очень широкий класс линейных систем управления описывается с помощью линейных дифференциальных уравнений:

.

Преобразуем левую и правую часть этого уравнения по Лапласу и получим следующее выражение

или , где – передаточная функция системы управления.[9]

Таким образом, при заданном описании системы в виде дифференциального уравнения передаточная функция находится очень просто и, следовательно, легко осуществляется анализ линейных систем.[10]