Эволюционные операторы первого и второго порядков кратности

Рассмотрим нелинейные эволюционные операторы первого и второго

порядка кратности.

Эволюционный оператор первого порядка кратности определяется следующим образом:

(2.1)

где S_k – оператор сокращения переменных порядка k, a_k – обобщенная вектор-функция с носителем на – операция свертки,

– k-я тензорная степень функции x.

Нелинейный эволюционный оператор второго порядка кратности имеет вид:

(2.2)

где b n 1, n 2 – двухкомпонентная финитная обобщенная вектор-функция с носителем на -

оператор сокращения переменных второго порядка кратности

- операция тензорного произведения.

Эволюционные операторы второго порядка кратности широкое применение находят при исследовании нелинейных многомерных эволюционных систем с двумя входными и выходными сигналами

Часто оператор A второго порядка кратности определяется двумя операторами A¹ и A² первого порядка кратности следующим образом:

Такие операторы будем в дальнейшем называть составными операторами.

Приведем структурные схемы рассмотренных выше операторов:

- первого порядка кратности (рис.2.1);

- второй кратности (рис.2.2);

- составной (рис.2.3).

Рисунок 2.1- Структурная схема оператора первой кратности

Рисунок 2.2- Структурная схема оператора второй кратности

Рисунок 2.3 - Структурная схема составного оператора

При изучении нелинейных эволюционных операторов используются операция тензорного произведения реакций этих операторов:

Тензорная степень определяется так

Тензорным произведением двух эволюционных операторов второй кратности называется оператор вида:

Тензорной степенью эволюционного оператора второй кратности называется оператор, определяемый равенством:

Одной из важных задач теории эволюционных операторов является изучение их композиции [6]. Композиция эволюционных нелинейных системных операторов позволяет описать импульсные характеристики системы, что является одной из актуальных задач в теории нелинейных систем.

Пусть C =B ∘ A – композиция эволюционных операторов А и B. Тогда имеем

Обозначая через С₁, С₂,… однородные операторные компоненты оператора С,

Получим

где