Применение эволюционных операторов для приближенного нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений

Эволюционные операторы, соответствующие нелинейным дифференциальным уравнениям, и квазиобратные к ним эволюционные операторы применимы для нахождения приближенного решения ДУ.[16]

Рассмотрим задачу Коши:

+ x + x² = f(t), x(0)= 0 (2.4)

где x = x(t), t [0;1].

Сначала данное дифференциальное уравнение решили методом конечных разностей. Так как функция

называемая функцией Хевисайда (или функцией включения), может принимать только два значения, а t [0;1], то для данного метода Θ (t) =1.

Нанесем на пространственную область конечно-разностную сетку с шагом h=0.1 и сеточными функциями х_i, x_i+1. Аппроксимировали дифференциальный оператор отношением конечных разностей, получили

Подставляя данное отношение в задачу (2.4), получим явную конечно-разностную схему

х_i+1 = h + x_i - hx_i - hx²_i, x₀(0)= 0

Вычислим значения в точках t = 0,1 k, где k = 0,…,1.

X₁=0.1+0-0.1*0-0.1*0=0.1

X₂=0.1+0.1*0.1-0.1*0.1²=0.189 и т.д.

По результатам получим следующую таблицу.

Таблица 1. – Вычисленные точки

i	t	хi
		0,1
	0,1	0,189
	0,2	0,267
	0,3	0,333
	0,4	0,388
	0,5	0,434
	0,6	0,472
	0,7	0,503
	0,8	0,527
	0,9	0,547
		0,562

По вычисленным точкам можно построить график функции х(t) (рисунок 2.5).

Затем найдем приближенное решение уравнения (2.4), используя системные эволюционные операторы Вольтера – Винера Ax и Bf с импульсными характеристиками a_n, b_m. Для задачи (2.4) эволюционный оператор А имеет вид:

Ax=a₁*x+S₂(a₂* )

где – известные импульсные характеристики.

Отметим, что

Действительно, имеем:

Пусть эволюционный оператор

(2.5)

является квазиобратным оператором второй степени к оператору А.

Рассматривая композицию операторов (A o B) f = A(Bf), имеем

Из полученного соотношения следует, что

(2.6)

и (2.7)

Из равенства (2.7) получаем:

Подставляя в полученное равенство известные импульсные характеристики оператора А, получим

(2.8)

Рассмотрим модельный пример, когда f (t) = Θ (t). Имеем:

Используя последнее соотношение, из равенства (2.8) получим

Из доказанных равенств следует, что

Пусть теперь эволюционный оператор

является квазиобратным оператором третьей степени к оператору А.

Тогда имеем:

Раскрывая скобки и возводя в квадрат сумму из трех слагаемых, получаем следующие равенства:

Из первых двух равенств уже найдены выражения: b₁ * f и s₂ (b₂* . Из третьего равенства, подставляя известные данные, получим:

Итак, результатом нахождения приближенного решения задачи (2.4) с помощью квазиобратного оператора третьей степени является

На рисунке можно увидеть графики всех трех решений задачи (2.4): приближенное решение, найденное методом конечных разностей; найденное с использованием квазиобратного эволюционного оператора второй степени и квазиобратного эволюционного оператора третьей степени.

Рисунок 2.5– Приближенное решение задачи Коши [16]

Решим задачу Коши + x + x² = (t), x(0)= 0

где x = x(t), t [0;1] тремя способами с другой функцией

Используем метод Эйлера

Очередное значение искомой функции определяется по формуле:

х_i+1 = x_i – h(x_i -hx²_i –e^-1/t), x₀(0)= 0

Рассмотрим решение уравнения с применением эволюционного оператора Ax=a₁*x+S₂(a₂* )

Используем квазиобратный эволюционного оператора второй степени

Повторив действия, приведенные в предыдущем примере, получим функцию

x(t) = e^-1/t((2*t-1)e^-t+e^-2t)

При использовании квазиобратного эволюционного оператора третьей степени функция получит вид:

x(t) = e^{-1/ t}(-e^-3t+e^-2t(-4t-1)-2t²e ^{– t}+2)

Вычислим значения в точках t = 0.2* k, где k = 0,…,1 тремя способами.

Вычисленные значения занесем в таблицу 2

Таблица 2– Значения функций.

k	t	Метод Эйлера	Второе приближение	Третье приближение
	0,2	0,001	0,001	0,001
	0,4	0,017	0,026	0,032
	0,6	0,052	0,077	0,112
	0,8	0,098	0,135	0,230
		0,150	0,185	0,369

Построим графики по значениям, полученными в результате решения уравнения тремя методами: численным методом Эйлера, с использованием квазиобратных эволюционных операторов второй и третье степени.

Рисунок 2.6– Приближенное решение

Таким образом, показано, что метод эволюционных операторов позволяет получить приближенное решение задачи Коши в виде функции, причём значения полученной функции с достаточно высокой степенью точности согласуются со значениями, полученными традиционным численным сеточным методом и методом Эйлера.