Пример построения квазиобратного эволюционного оператора для уравнения осциллятора Дуффинга

Рассмотрим уравнение

. (2.17)

Оно представляет собой важный пример с нелинейной восстанавливающей силой dx² и затуханием, совершающей вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии f(t).

Положим f(t) = θ(t), где функция θ является бесконечно дифференцируемой финитной слева функцией, т.е. θ Х.

Нелинейный эволюционный оператор, который можно сопоставить уравнению (2.17) имеет вид , т.е. – обобщенные импульсные характеристики оператора Ах.

Построим трехкомпонентный нелинейный квазиобратный эволюционный оператор Bf=B₁f+B₂f+B₃f.

Так как характеристическое уравнение имеет два корня и , т.е. и , то получаем, что .

Следовательно,

– первая компонента;

– вторая компонента;

– третья компонента.

Изобразим графически нелинейные квазиобратные эволюционные операторы первой степени Bf = =B₁f, второй степени Bf = B₁f+ B₂f и третьей степени Bf = B₁f+ B₂f + B₃f.

Вычислим значения этих функций в точках t = 0,1 k, где k = 0,…,2. Получим следующую таблицу.

Таблица 3. – Значения функций.

t	B1f	B2f	B3f	Bf=B1f+B2f	Bf=B1f+B2f+B3f
	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
0,1	0,005	0,000	0,000	0,005	0,005
0,2	0,020	0,000	0,000	0,020	0,020
0,3	0,045	0,000	0,000	0,045	0,045
0,4	0,079	0,000	0,000	0,079	0,079
0,5	0,122	0,000	0,000	0,122	0,122
0,6	0,175	0,000	0,000	0,174	0,174
0,7	0,235	-0,001	0,000	0,234	0,234
0,8	0,303	-0,002	0,000	0,301	0,301
0,9	0,378	-0,004	0,000	0,374	0,374
	0,460	-0,007	0,000	0,452	0,452
1,1	0,546	-0,013	0,000	0,533	0,533
1,2	0,638	-0,021	0,000	0,616	0,616
1,3	0,733	-0,034	-0,001	0,699	0,698
1,4	0,830	-0,051	-0,002	0,779	0,777
1,5	0,929	-0,074	-0,004	0,855	0,851
1,6	1,029	-0,106	-0,007	0,923	0,916
1,7	1,129	-0,147	-0,013	0,982	0,969
1,8	1,227	-0,199	-0,021	1,028	1,007
1,9	1,323	-0,265	-0,034	1,058	1,024
	1,416	-0,345	-0,054	1,071	1,016

По вычисленным значениям построим графики рассматриваемых функций.

Рисунок 2.7 - Графики функций

Заключение

В дипломной работе были рассмотрены нелинейные динамические системы. Система является нелинейной вследствие наличия в ее составе звеньев, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, или имеющих нелинейную статическую характеристику.

Математические модели, которые детально описывают исследуемые реальные процессы в нелинейных системах, как правило, являются сложными. Сложность задач математической физики обусловлена многомерностью, нелинейностью и др. Для исследования таких систем применяются приближенные методы, сводящие исходную модель к более упрощенной модели, содержащей нелинейные уравнения с неизвестными функциями и их производные в степени выше первой. Одним из таких методов, позволяющих провести качественный анализ поведения нелинейных уравнений, является метод функциональных рядов Вольтерра-Винера. При описании нелинейных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра передаточные функции являются многомерными. Метод ряда Вольтерра позволяет исследовать системы с мягкими инерционными нелинейностями и занимает своё место между методами анализа линейных систем и методами анализа нелинейных систем с существенными нелинейностями.

В работе рассматриваются операторы первого и второго порядка кратности. Полиномиальный эволюционный оператор первой кратности Вольтерра – Винера, определяется равенством

Импульсная характеристикой a_n, а также, полученная на ее основе, спектральная характеристика являются важным критерием для описания нелинейном системы с одних входным сигналом и одним выходных сигналом.

При исследовании нелинейных систем с двумя входными и выходными сигналами широкое применение находят эволюционные операторы второго порядка кратности.

Во второй главе дипломной работы эволюционные операторы применяются для нахождения приближенного решения дифференциального уравнения. В частности, для дифференциального уравнения первого порядка x'+ ax² + bx = f эволюционный оператор имеет вид

Ax=a₁*x+S₂(a₂* )

Он обладает следующими импульсными характеристиками

На примере решения задачи Коши было показано, что метод эволюционных операторов позволяет получить приближенное решение задачи Коши в виде функции, причём значения полученной функции с достаточно высокой степенью точности согласуются со значениями, полученными традиционными численными методами.

Полученные результаты могут быть использованы в научных исследованиях теории эволюционных операторов и для анализа радиофизических объектов.