Классификация нелинейных систем

При рассмотрении способов цифрового моделирования нелинейных систем целесообразна следующая их классификация.

Во-первых, нелинейные системы можно разделить на два основных класса: безынерционные нелинейные системы (класс I) и инерционные нелинейные системы.

Среди инерционных нелинейных систем можно выделить системы, которые являются комбинацией из двух типов развязанных между собой отдельных функциональных звеньев: линейных инерционных и нелинейных безынерционных (функциональные системы), и системы, которые не являются таковыми (инерционные нелинейные нефункциональные системы — класс IV). Класс II образуют функциональные системы, у которых нелинейные звенья не включены в контуры с обратной связью (инерционные нелинейные функциональные замкнутые системы). Класс III образуют функциональные системы с нелинейностями в контурах с обратной связью (инерционные нелинейные (функциональные замкнутые системы).

Рисунок 4 – Функциональные нелинейные системы

На рис. 4 приведены примеры функциональных нелинейных систем I, II и III классов, где НЭ — нелинейный безынерционный элемент, K₁(р) и K₂(р) — передаточные функции линейных динамических звеньев. Схема II на рис. 4 используется, например, как типовое радиотехническое звено, при этом K₁(р) — передаточная функция радиоусилителя (УПЧ), НЭ — детектор, K₂(р) — передаточная функция видеофильтра. К схеме III сводятся обычно следящие системы радиоустройств, при этом характеристика нелинейного элемента описывает дискриминационную кривую.

Нелинейные системы IV класса могут быть заданы в виде принципиальной схемы, как, например, схемы амплитудного и частотного детекторов, у которых существенно влияние реактивной нагрузки на нелинейные элементы (диоды), или в виде нелинейных дифференциальных уравнений (системы уравнений), описывающих процессы в системе, например аэродинамические дифференциальные уравнения движения летательного аппарата.

Приведенная классификация нелинейных систем является в определенном смысле условной. Одну и ту же систему можно отнести к тому или другому классу, в зависимости от существа решаемой задачи, т. е. в зависимости от характера ее постановки, целей решения, точности воспроизведения процессов в системе, наличия априорных сведений о характеристиках системы и т. п. Так, например, амплитудный детектор в случаях, когда емкостный фильтр не имеет развязки с нелинейным элементом, строго говоря, является нелинейной системой IV класса, однако при определенном выборе параметров его можно отнести к системам II класса (типовое радиотехническое звено), а по характеру преобразования огибающей входного колебания — к системам I класса, т. е. к безынерционному нелинейному звену, преобразующему огибающую в напряжение , где — детекторная характеристика.

В последнем случае детектор выполняет свое функциональное назначение—выделение огибающей или же некоторой функции от огибающей. При такого рода эквивалентных преобразованиях нелинейных систем используются заранее известные характеристики этих систем, полученные теми или иными методами. Эти преобразования позволяют упростить цифровые модели.

Для преобразования нелинейных систем IV класса в эквивалентные системы III класса можно использовать богатый опыт составления функциональных электронных схем для решения нелинейных дифференциальных уравнений на аналоговых вычислительных машинах.

Наибольшее распространение получила классификация по статическим и динамическим характеристикам. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений. На рис.5 приведены примеры однозначных (без памяти) и многозначных (с памятью) нелинейных характеристик. В этом случае учитывается направление (знак) скорости сигнала на входе.[2]

Рисунок 5- Статические характеристики нелинейных элементов

Основными параметрами, характеризующими работу нелинейных САУ, являются:

1. Наличие или отсутствие автоколебаний. Если автоколебания имеются, то необходимо определить их амплитуду и частоту.

2. Время выхода регулируемого параметра в режим стабилизации (быстродействие).

3. Наличие или отсутствие скользящего режима.

4. Определение особых точек и особых траекторий движения. Это далеко не полный перечень исследуемых показателей, сопровождающих работу нелинейных систем. Системы экстремальные, самонастраивающиеся, с переменными параметрами требуют оценки и дополнительных свойств.

Поведение нелинейных систем при наличии существенных нелинейностей имеет ряд особенностей, отличных от поведения линейных САУ:

1. выходная величина нелинейной системы непропорциональна входному воздействию, т.е. параметры нелинейных звеньев зависят от величины входного воздействия;

2. переходные процессы в нелинейных системах зависят от начальных условий (отклонений). В связи с этим, для нелинейных систем введены понятия устойчивости "в малом", "в большом", "в целом". Система устойчива "в малом", если она устойчива при малых (бесконечно малых) начальных отклонениях. Система устойчива "в большом", если она устойчива при больших (конечных по величине) начальных отклонениях. Система устойчива "в целом", если она устойчива при любых больших (неограниченных по величине) начальных отклонениях. На рис.6 приведены фазовые траектории систем: устойчивой "в целом" (а) и системы устойчивой "в большом" и неустойчивой "в малом"(б)

Рисунок 6- Фазовые траектории нелинейных систем

3. для нелинейных систем характерен режим незатухающих периодических колебаний с постоянной амплитудой и частотой (автоколебаний), возникающий в системах при отсутствии периодических внешних воздействий;

4. при затухающих колебаниях переходного процесса в нелинейных системах возможно изменение периода колебаний.

Эти особенности обусловили отсутствие общих подходов при анализе и синтезе нелинейных систем. Разработанные методы позволяют решать лишь локальные нелинейные задачи.

В качестве примера нелинейной системы рассмотрим регулятор напряжения электрического генератора, упрощенная принципиальная схема которого приведена на рисунке 7. Генератор переменного тока ГПТ имеет статор с трехфазной обмоткой и ротор с обмоткой возбуждения. Через обмотку возбуждения протекает ток возбуждения, который в начальный момент создается аккумулятором Ea.

Рисунок 7 - Регулятор напряжения генератора

Ротор генератора приводится во вращение с помощью внешнего двигателя. При вращении ротора его обмотка возбуждения создает вращающееся магнитное поле возбуждения, силовые магнитные линии которого пересекают витки обмоток статора. В результате в обмотках статора индуцируется переменный ток.

Переменный ток выпрямляется с помощью трехфазного двухполупериодного выпрямителя на диодах D1 – D6, и на выходе генератора создается постоянное напряжение U_c, которое подается на внешнюю нагрузку (потребителям) и обеспечивает подзарядку аккумулятора E_a.

Выходное напряжение генератора существенно зависит от скорости вращения ротора генератора и от мощности потребления нагрузки. Для стабилизации выходного напряжения генератор снабжен регулятором, основным элементом которого является реле напряжения РН. Это реле настроено на определенное напряжение срабатывания, которое соответствует нужному напряжению генератора U_c. Нормально замкнутый контакт К_рнреле напряжения РН закорачивает добавочный резистор R_д, включенный последовательно в цепь обмотки возбуждения генератора.

В начальный момент времени напряжение на выходе генератора отсутствует, а напряжения аккумулятора E_a недостаточно для срабатывания реле напряжения РН. Поэтому резистор R_д закорочен контактом К_рн и ток возбуждения генератора максимален. Напряжение на выходе генератора быстро растет и достигает напряжения срабатывания реле РН. Реле напряжения срабатывает и в цепь возбуждения генератора включается добавочный резистор R_д, поскольку контакт К_рн размыкается. Из-за включения добавочного резистора ток возбуждения скачком уменьшается, что ведет к снижению напряжения U_c на выходе генератора. Когда напряжение на выходе станет меньше напряжения срабатывания реле, оно вернется в исходное состояние, и описанный процесс будет постоянно повторяться.

На рис. 8 показаны графики изменения основных сигналов в системе автоматического регулирования напряжения генератора. На рис 9 a) представлен график зависимости тока возбуждения i_в (управляющее воздействие на генератор) от выходного напряжения U_c (управляемая величина). При непрерывном изменении выходного напряжения U_c ток возбуждения i_в меняется скачком в момент перехода напряжения U_c через величину U_рн напряжения срабатывания реле РН.[2]

Рисунок 9 – Изменение сигналов регулятора напряжения

Реле напряжения РН можно рассматривать как нелинейный функциональный элемент системы регулирования напряжения, характеристика преобразования которого нелинейна (релейная характеристика). Особенности характеристики реле напряжения приводят к тому, что для выходной величины системы U_c устанавливается устойчивый колебательный процесс (рис. 9 b), который невозможен в обыкновенной линейной системе.

Таким образом, в нелинейной системе учитываются нелинейные связи между сигналами. Учет нелинейных преобразований сигналов приводит к нелинейному дифференциальному уравнению при описании динамики нелинейной системы

Поэтому в теории автоматического управления нелинейную систему автоматического управления определяют как систему, описываемую нелинейным дифференциальным уравнением произвольного порядка n.[1]