Движении

Положение любой точки плоской фигуры можно определить радиусом-вектором (рис. 2.18)

, (2.48)

где - радиус-вектор полюса ;

- вектор, определяющий положение точки относительно системы

, перемещающейся вместе с полюсом поступательно

(движение тела по отно­шению к этой системе представляет собой

вращение вокруг полюса).

Так как вектор скорости какой-либо точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора, то, продифференцировав радиус-вектор , определяемый зависи­мостью (2.48), получим скорость точки

, (2.49)

где - скорость полюса ;

- производная, равная вектору скорости , которую точка

получит при , т. е. относительно системы

, или, иначе, при вращении тела вокруг полюса .

Следовательно, скорость точки во вращательном движении вокруг полюса по модулю равна:

(2.50)

и направлена перпендикулярно к отрезку в сторону вращения фигуры

вокруг полюса.

Итак,

, (2.51)

т. е. скорость любой точки плоской фигуры в плоской движении, равна геометрической сумме скорости полюса и скорости рассматриваемой точки при вращении фигуры вокруг полюса.

Теорема. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны (рис. 2.19).

Доказательство. Пусть и - скорости соответственно точек и (рис. 2.19). Приняв точку за полюс, можем написать

. (2.52)

Проектируя обе части написанного векторного равенства на ось и учитывая, что вектор перпендикулярен к , находим

, (2.53)

что и требовалось доказать.

Теорема. При движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый данный момент времени на фигуре найдется такая точка, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей.

Доказательство. Пусть в момент времени скорости точек и соответственно и (рис. 2.20). Проведем перпендику­ляры к векторам скоростей и из то­чек и до их взаимного пересечения в точке . Докажем, что скорость точки в дан­ный момент времени равна нулю.

Предположим, что скорость точки не равна нулю: . Тогда по теореме о проекциях скоростей концов на направление самого отрезка вектор скорости этой точки должен быть перпендикулярен одновременно к отрезкам и (так как и ), что невозможно. Поэтому

предположение, что скорость точки не равна нулю, неверно. Следовательно, скорость точки равна нулю. Из этой теоремы следует, что никакая другая точка тела в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Возьмем, например, точку . Для точки проекция на направление отрезка не равна нулю, так как проекция скорости точки на направление не равна нулю.

Возьмем за полюс мгновенный центр скоростей . Тогда скорость какой-либо точки может быть записана в виде

, (2.54)

но . Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры при плос­ком ее движении равна вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей и направлена перпендикулярно к отрезку, соединяющему дан­ную точку с мгно­венным центром скоростей, в сторону вращения фигуры и равна произведению угловой скорости фигуры на длину этого отрезка. По­этому мгновенный центр скоростей называют еще и центром мгновенного вращения.

Например, модули скоростей точек и можно написать в виде

(2.55)

т. е. скорости точек плоской фигуры при плоском ее движении пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей. Из формул (2.55) легко найти уг­ловую скорость плоской фигуры

. (2.56)