![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Положение любой точки плоской фигуры можно определить радиусом-вектором (рис. 2.18)
, (2.48)
где - радиус-вектор полюса
;
- вектор, определяющий положение точки
относительно системы
, перемещающейся вместе с полюсом
поступательно
(движение тела по отношению к этой системе представляет собой
вращение вокруг полюса).
Так как вектор скорости какой-либо точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора, то, продифференцировав радиус-вектор
, определяемый зависимостью (2.48), получим скорость точки
, (2.49)
где - скорость полюса
;
- производная, равная вектору скорости
, которую точка
получит при
, т. е. относительно системы
, или, иначе, при вращении тела вокруг полюса
.
Следовательно, скорость точки во вращательном движении вокруг полюса
по модулю равна:
(2.50)
и направлена перпендикулярно к отрезку в сторону вращения фигуры
вокруг полюса.
Итак,
, (2.51)
т. е. скорость любой точки плоской фигуры в плоской движении, равна геометрической сумме скорости полюса и скорости рассматриваемой точки при вращении фигуры вокруг полюса.
Теорема. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны (рис. 2.19).
Доказательство. Пусть и
- скорости соответственно точек
и
(рис. 2.19). Приняв точку
за полюс, можем написать
. (2.52)
Проектируя обе части написанного векторного равенства на ось и учитывая, что вектор
перпендикулярен к
, находим
, (2.53)
что и требовалось доказать.
Теорема. При движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый данный момент времени на фигуре найдется такая точка, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей.
Доказательство. Пусть в момент времени скорости точек
и
соответственно
и
(рис. 2.20). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей
и
из точек
и
до их взаимного пересечения в точке
. Докажем, что скорость точки
в данный момент времени равна нулю.
Предположим, что скорость точки
не равна нулю:
. Тогда по теореме о проекциях скоростей концов на направление самого отрезка вектор скорости этой точки
должен быть перпендикулярен одновременно к отрезкам
и
(так как
и
), что невозможно. Поэтому
предположение, что скорость точки не равна нулю, неверно. Следовательно, скорость точки
равна нулю. Из этой теоремы следует, что никакая другая точка тела в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Возьмем, например, точку
. Для точки
проекция
на направление отрезка
не равна нулю, так как проекция скорости точки
на направление
не равна нулю.
Возьмем за полюс мгновенный центр скоростей . Тогда скорость какой-либо точки
может быть записана в виде
, (2.54)
но . Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры при плоском ее движении равна вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей
и направлена перпендикулярно к отрезку, соединяющему данную точку с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения фигуры и равна произведению угловой скорости фигуры на длину этого отрезка. Поэтому мгновенный центр скоростей называют еще и центром мгновенного вращения.
Например, модули скоростей точек и
можно написать в виде
(2.55)
т. е. скорости точек плоской фигуры при плоском ее движении пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей. Из формул (2.55) легко найти угловую скорость плоской фигуры
. (2.56)
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 208 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!