Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Положение любой точки плоской фигуры можно определить радиусом-вектором (рис. 2.18)
, (2.48)
где - радиус-вектор полюса ;
- вектор, определяющий положение точки относительно системы
, перемещающейся вместе с полюсом поступательно
(движение тела по отношению к этой системе представляет собой
вращение вокруг полюса).
Так как вектор скорости какой-либо точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора, то, продифференцировав радиус-вектор , определяемый зависимостью (2.48), получим скорость точки
, (2.49)
где - скорость полюса ;
- производная, равная вектору скорости , которую точка
получит при , т. е. относительно системы
, или, иначе, при вращении тела вокруг полюса .
Следовательно, скорость точки во вращательном движении вокруг полюса по модулю равна:
(2.50)
и направлена перпендикулярно к отрезку в сторону вращения фигуры
вокруг полюса.
Итак,
, (2.51)
т. е. скорость любой точки плоской фигуры в плоской движении, равна геометрической сумме скорости полюса и скорости рассматриваемой точки при вращении фигуры вокруг полюса.
Теорема. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны (рис. 2.19).
Доказательство. Пусть и - скорости соответственно точек и (рис. 2.19). Приняв точку за полюс, можем написать
. (2.52)
Проектируя обе части написанного векторного равенства на ось и учитывая, что вектор перпендикулярен к , находим
, (2.53)
что и требовалось доказать.
Теорема. При движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый данный момент времени на фигуре найдется такая точка, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей.
Доказательство. Пусть в момент времени скорости точек и соответственно и (рис. 2.20). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей и из точек и до их взаимного пересечения в точке . Докажем, что скорость точки в данный момент времени равна нулю.
Предположим, что скорость точки не равна нулю: . Тогда по теореме о проекциях скоростей концов на направление самого отрезка вектор скорости этой точки должен быть перпендикулярен одновременно к отрезкам и (так как и ), что невозможно. Поэтому
предположение, что скорость точки не равна нулю, неверно. Следовательно, скорость точки равна нулю. Из этой теоремы следует, что никакая другая точка тела в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Возьмем, например, точку . Для точки проекция на направление отрезка не равна нулю, так как проекция скорости точки на направление не равна нулю.
Возьмем за полюс мгновенный центр скоростей . Тогда скорость какой-либо точки может быть записана в виде
, (2.54)
но . Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры при плоском ее движении равна вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей и направлена перпендикулярно к отрезку, соединяющему данную точку с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения фигуры и равна произведению угловой скорости фигуры на длину этого отрезка. Поэтому мгновенный центр скоростей называют еще и центром мгновенного вращения.
Например, модули скоростей точек и можно написать в виде
(2.55)
т. е. скорости точек плоской фигуры при плоском ее движении пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей. Из формул (2.55) легко найти угловую скорость плоской фигуры
. (2.56)
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 183 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!