Скорость и ускорение точки вращаю­щегося тела

Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некото­рую точку , находящуюся на расстоянии от оси вращения. При вращении тела точка движется по окружности радиуса (рис. 2.12, б). Поэтому при пово­роте тела на угол точка окажется на расстоянии от своего на­чального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

.

Таким образом,

, (2.35)

т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость. Так как скорость направлена по касательной к окружности, по которой движется точка , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и ось вращения. Ускорение точки складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение уско­ренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное. По фор­мулам (2.21), (2.34) и (2.35)

. (2.36)

Нормальная составляющая ускорения направлена от точки к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (2.22) и (2.25)

. (2.37)

Касательное и нормальное ускорения точки вращающегося тела называются иначе вращательным и центростремительным ускорениями.

Модуль полного ускорения на основании формулы (2.23) будет равен:

. (2.38)

Угол , который вектор полного ускорения образует с радиусом ,

определяется равенством:

. (2.39)