Задача. Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h

Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.

B

Решение.

	K

D E

		C
		x
	A

Обозначим высоту KL прямоугольника через х, основание DE через у. Тогда площадь его S=xy. Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.

В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC, учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем

или т.к. BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,

то у=

исключая у из выражения для S находим

S =

Ищем максимум для этой функции

S =

S =0 h-2x=0 x=

Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь

следовательно, при площадь S имеет максимум, причем из формулы S= получаем S_max=

Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.