Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции

Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения заданной функции ;

2) Найти производную ;

3) Определить критические точки функции ;

4) Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)

5) Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.

Пример.

Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции

Решение:

1)

2)Найдем производную:

3)Найдем критические точки:

4)

+ -- +

1 1

е²

Ответ: функция возрастает на

Функция убывает на

§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а;b] рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)Найти производную данной функции;

2) Определить критические точки данной функции;

3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;

4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;

5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;

6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.

Пример: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

+ sin²x на (0; )

Решение: D (f)=R

1) Найдем производную:

f' (x) = - cos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x- )

2) Найдем критические точки:

f (x)=0 cos x (2 sin x - =0

cos x =0 2sinx - =0

x= 2 sin x =

sin x =

Х=(-1) + , k .

3) На промежутке (0; ) лежит лишь одна критическая точка x= .

4) Вычислим значение функции в точке х= .

f()=1- + = =0,5.

5) Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:

f(0)=1

f()=1- 1+1=2- =0,586

6) Из трех значений f(0)=1;

f()=0,586;

f()=0,5.

Выбираем наименьшее и наибольшее значение

Ответ: min f(x)= f()=0,5;

max f(x)= f(0)=1;

.