Доказательство. 1. Положим, что f'(x0)=0, f''(x0), пусть x=x0+ x0 - точка близкая к x0

1. Положим, что f'(x₀)=0, f''(x₀), пусть x=x₀+ x₀ - точка близкая к x₀.

Т.к. вторая производная f''(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:

Таким образом, переменная

стремится к пределу f^//(x₀)≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:

>0 при 0<|x-x₀|<E, где Е - достаточно малое положительное число.

Отсюда получаем, что числитель и знаменатель этой дроби имеют одинаковые знаки и, следовательно, f^/(x₀)<0 при х₀-Е<x<x₀ и, следовательно, f^/(x₀)>0 при х₀<x<x₀+Е.

Мы видим, что производная f^/(x) при переходе через точку х₀ меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.

3) Аналогично доказываем, что если f^/(x₀)=0 и f^//(x₀)<0, то

f(x₀)- минимум функции f(х).