Теорема 1 (первое правило)

Если дифференцируемая функция f(x) такова, что для некоторого значения eё аргумента x производная (x) равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(x ) является экстремумом функции f(x), причём:

1)функция (x) имеет максимум при х= , если изменение знака производной происходит с плюса на минус;

2) функция имеет минимум при если изменение знака производной происходит с минуса на плюс.

Доказательство.

1) Пусть (x)=0, причем (x)>0 при х₀-Е<x<x₀ и

(x)<0 при х₀<x<x₀+Е,

где Е-достаточно малое положительное число.

Отсюда, в силу теоремы 2 (достаточный признак возрастания (убывания) функции) следует, что функция возрастает на отрезке [x₀-Е,х₀] и убывает на отрезке [х_0, x₀+Е]. следовательно, в непосредственной близости к значению х имеем f(x₀)> f(x), если х<х₀,

И также f(x₀)> f(x), если х>х₀.

Иными словами, при х=х₀ функция f(x) имеет максимум.

2) аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Пример. Исследовать на экстремумы функцию f(x) =х³-6х²+9х+5.

Решение. Находим производную (x) =3х²-12х+9=3(х²+4х+3). Приравнивая ее к нулю и решая соответствующее квадратное уравнение, получаем корни производной:

х₁=1 и х₂=3. Отсюда (x) =3(х-1)(х-3).

Исследуем, как изменяется знак (x). Вблизи значения х=1.

При любом достаточно малом положительном числе h имеем

х	(x)
1-h	+
1+h	-

Следовательно, функция f(x) при х=1 имеет максимум, равный f(1)=9. аналогично для значения х=3 получим

х	(x)
3-h	-
3+h	+

Поэтому функции f(x) при х=3 имеет минимум, причем f(3)=5.