Доказательство. Пусть, для определенности, есть точка минимума функции

Пусть, для определенности, есть точка минимума функции . Следовательно, если достаточно мало по абсолютной величине.

Отсюда , если ,

и , если .

Переходя в этих неравенствах к пределу при , для производной в точке , равной

соответственно получим

, если

Т.к. значение производной не должно зависеть от способа стремлении к нулю, то отсюда следует, что .

Теорема доказана.

Геометрическая иллюстрация.

Геометрически обозначает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.