Экстремум функций одной переменной

Определение: Говорят, что при значении x₁ аргумента х функция f(x) имеет максимум f(x₁) если в некоторой окрестности точки x1(возможно, весьма малой) выполнено неравенство f(x₁)>f(x) (x x₁)

У= f(x)

f(x₁) f(x)

f(x₂)

х₁ х х₂

Аналогично говорят, что при значении x аргумента x функция f(х) имеет минимум f(х₂), если в некоторой окрестности точки x имеет место неравенство f(х₂)<f(x), (х ≠ х₂). Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками минимума функции).

Из определения следует, что экстремум функции, вообще говоря, имеет локальный характер-это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с близлежащими значениями ее. Поэтому наличие экстремума при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что минимум функции может быть больше максимума, - подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем наибольшая вершина.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и имеет экстремум в точке х .

Если х - внутренняя точка отрезка, то разность f(x) – f(x ) (x x ) сохраняет постоянный знак в некоторой двусторонней окрестности

х - h +h ().

Такой экстремум называется двусторонним.

Например, функция f (х) =

имеет двусторонний максимум при = 0, т.к. f (x) = 1

при - 1 .

Если же концевая точка отрезка [a,b],

например, х = а, то f(x)- f(x ) сохраняет знак лишь в некоторой односторонней окрестности а = х + h точки х .

Такой экстремум называется односторонним (краевым). Например, функция имеет односторонний минимум при и при .

В дальнейшем под словом экстремум мы будем понимать двусторонний экстремум, т.е. будем предполагать, что для точки экстремума данной функции f(x) имеется некоторая окрестность 0<|x-x₀|<h точки х₀, в которой разность сохраняет постоянный знак.