Теорема 1. 1. Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна в этом промежутке

1. Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна в этом промежутке.

2. Если дифференцируемая функция убывает в некотором промежутке, то её производная не положительна в этом промежутке.

Доказательство:

1) Пусть дифференцируемая функция f(x) возрастает на промежутке (а, b)

Согласно определению производной

Если значения x и x + x принадлежит промежутку (а, b), то в силу возрастания функции f(x) знак её приращения f(x+ x)-f(x), где x 0, одинаков со знаком приращения x аргумента x.

Следовательно, при достаточно малом по абсолютной величине x имеем

Переходя в последнем неравенстве к пределу при x 0 и учитывая, что предел положительной функции, очевидно, не сможет быть отрицательным, получим .

2) Доказательство второй части теоремы вполне аналогично доказательству первой её части.