Приклади розв’язування задач з кінематики

Приклад 1

Радіус-вектор частинки змінюється з часом t за законом

де – сталий вектор, – додатна стала. Знайти:

1) швидкість та прискорення частинки в залежності від часу;

2) проміжок часу , за який частинка повернеться у вихідну точку, а також шлях , який вона пройде при цьому.

Розв’язання:

1) Оскільки – сталий вектор, рух частинки є прямолінійним. Оберемо вісь такою, що збігається за напрямом з вектором , тобто

,

тоді

. (1.1)

Проекція швидкості на вісь х:

. (1.2)

Вектор швидкості:

. (1.3)

Проекція прискорення на вісь х:

. (1.4)

Вектор прискорення:

. (1.5)

Оскільки , то . Рух частинки (матеріальної точки) є сповільненим.

2) Оскільки , то і , тобто

звідси випливає, що проміжок часу, за який частинка повернеться у вихідну точку, .

Шлях і координата до моменту зупинки збігаються. Починаючи з моменту зупинки, координата частинки спадає, а шлях продовжує зростати. Отже, шлях складається з двох відрізків: – шляху, який частинка пройшла до зупинки, та – шляху, який частинка пройшла з моменту зупинки до повернення у вихідну точку. На момент зупинки швидкість дорівнює нулю. Підставивши у (1.2), , дістанемо:

. (1.6)

Звідси випливає, що . Підставивши це значення у (1.1), дістанемо:

.

Шлях, який частинка пройшла до зупинки, , оскільки .

.

Шлях, який проходить частинка за проміжок часу :

(1.7)