Задачі для самостійного розв’язування. 1. Рух матеріальної точки заданий рівнянням

1. Рух матеріальної точки заданий рівнянням

,

де . Знайти: а) рівняння траєкторії; б) вирази та ; в) для моменту часу с обчислити модулі швидкості та прискорення.

Відповідь: ; .

2. Рух точки по кривій заданий рівняннями:

,

де . Знайти рівняння траєкторії точки, її швидкість v і повне прискорення a на момент часу с.

Відповідь: .

3. Точка рухається у площині ху за законом: ,

де a таb – додатні сталі. Знайти:

1) рівняння траєкторії точки у (х); зобразити її графік;

2) момент , коли кут між швидкістю й прискоренням дорівнює .

Відповідь: .

Приклад 3

Рух матеріальної точки заданий рівнянням:

,

де ; . Накреслити траєкторію точки. Знайти залежність від часу швидкості й прискорення , визначити модуль швидкості v і модуль прискорення .

Розв’язання:

Радіус-вектор точки:

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

.

Щоб виключити змінну , слід піднести обидві частини рівнянь (3.2) та (3.3) у квадрат і потім додати окремо ліві й праві частини виразів, що отримали.

Після додавання дістанемо:

. (3.4)

Рівняння (3.4) – рівняння кола радіуса з центром у початку координат (див. рис. 3.1).

Швидкість точки:

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

Після підстановки виразів (3.6) та (3.7) у рівняння (3.5) здобудемо:

. (3.8)

Модуль швидкості:

.

Враховуючи (3.6) і (3.7), дістанемо наступний вираз для модуля швидкості:

.

Прискорення точки:

.

Проекції вектора прискорення на осі х та у:

Тоді прискорення

,

а його модуль

.

Вектор прискорення напрямлений протилежно радіусові-вектору, тобто до центра кола. При русі точки вздовж кола з сталою за модулем швидкістю нормальне (доцентрове) прискорення

.