Функция распределения двумерной случайной величины и плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Пусть (X,Y) – двумерная случайная величина дискретная или непрерывная.

Определение: Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называется функция F(x,y), которая определена для любой пары чисел x,y:

F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Свойства функции распределения:

1) 0£ F(x,y) £ 1

2) F(x,y) – функция неубывающая по каждому из аргументов, т.е.

F(x₁,y) ³ F(x₂,y), x₁ ³ x₂,

F(x, y₁) ³ F(x, y₂), y₁ ³ y₂.

Доказательство:

Пусть значение x₁> x₂ , тогда событие {X<x₁,Y<y} можно представить в виде суммы двух событий {X< x₂,Y<y) (x₂ £ X< x₁,Y<y}, тогда по теореме сложения вероятностей P(X<x₁,Y<y) = P(X< x₂,Y<y) + P(x₂ £ X< x₁,Y<y).

F(x₁,y)=F(x₂,y)+ P(x₂ £ X< x₁,Y<y),

F(x₁,y) - F(x₂,y) ³ 0,

F(x₁,y) ³ F(x₂,y) - функция неубывающая по аргументу x.

Следствия:

1) F(-¥, y) = 0,

2) F(x, -¥) = 0,

3) F(-¥,-¥) = 0,

4) F(+¥,+¥) = 1.

3) F(x,+¥) = F₁(x),

F(+¥,y) = F₂(y).

Доказательство: Y<+¥, тогда F(x; +¥)=P(X<x)=F₁(x).

4) P(x₁ £ X£ x₂,Y<y)= F(x₂,y) - F(x₁,y),

P(x₁ £ X£ x₂, y₁ £ Y£ y₂)= F(x₂,y₂) - F(x₁,y₂) – (F(x₂,y₁) - F(x₁,y₁)).

Пусть дана двумерная непрерывная случайная величина (X,Y).

Определение: Плотность распределения случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную производную по переменным x и y от функции распределения.

.

Свойства плотности распределения:

,

.