Зависимые и независимые случайные величины

Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая величина.

Теорема 1: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми необходимо, чтобы функция распределения двумерной случайной величины (X,Y) была равна произведению функции распределения составляющих X и Y, т.е.

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y)

Доказательство:

Необходимость: Пусть случайные величины X и Y независимы, тогда независимы события {X<x}, {Y<y}.

Используя теорему о произведении вероятности независимых событий получим:

P(X<x, Y<y) = p(X<x)*p(Y<y), то

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y).

Достаточность:

Пусть F(x,y) = F₁(x) * F₂(y), отсюда

P(X<x, Y<y) = p(X<x)*p(Y<y)

Получили, что вероятность совместного свершения событий равна произведению вероятностей этих событий. Это значит, что независимы события {X<x}, {Y<y}, независимы X,Y, теорема доказана.

Теорема 2: Для того, чтобы две непрерывные случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность их совместного распределения была равна произведению плотностей распределения каждой из них, т.е.

f(x,y) = f₁(x) * f₂(y).

Доказательство:

Необходимость Если X и Y независимы, то по первой теореме

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y).

Продифференцируем (возьмем производную) последнее равенство по x и y последовательно:

,

.

Достаточность:

Пусть f(x,y) = f₁(x) * f₂(y). Проинтегрируем это равенство попеременно по x и y, получим:

, то

F(x,y) = F₁(x) * F₂(y). Тогда по первой теореме из данного равенства следует, что случайные величины X и Y независимы.

Что и требовалось доказать.