![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение: Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание от произведения отклонения данных случайных величин:
.
Эту формулу можно переписать следующим образом:
.
Для вычисления корреляционного момента ДСВ используется следующая формула:
.
Для непрерывной случайной величины корреляционный момент будет равен:
.
Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами X и Y.
Теорема 1: Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен 0 (нулю).
Доказательство: Пусть случайные величины независимы. Вычислим их корреляционный момент в соответствии с определением:
.
По свойству математического ожидания независимых случайных величин:
.
Теорема доказана.
Следствие: Если корреляционный момент (не равен нулю), то случайные величины X и Y зависимые.
Определение: Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений случайных величин X и Y,
.
Из определения следует, что коэффициент корреляции для независимых случайных величин равен нулю.
Теорема 2: Модуль корреляционного момента двух случайных величин не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:
.
Доказательство: рассмотрим случайную величину:
Вычислим дисперсию:
, т.о.
.
Аналогично, используя случайную величину ,
можно получить: ;
,
,
что и требовалось доказать.
Теорема 3: Коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы. .
Доказательство: Из теоремы 1 имеем: .
Поделим все части на получим:
, откуда
и
,
что и требовалось доказать.
Определения: Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их корреляционный момент отличен от 0 (нуля).
Две случайные величины X и Y называют некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0 (нулю).
Из этих определений следует, что две коррелированные величины будут также зависимы. Обратное утверждение не всегда справедливо: если две случайные величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 3032 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!