Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Определение: Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание от произведения отклонения данных случайных величин:

.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

.

Для вычисления корреляционного момента ДСВ используется следующая формула:

.

Для непрерывной случайной величины корреляционный момент будет равен:

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами X и Y.

Теорема 1: Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен 0 (нулю).

Доказательство: Пусть случайные величины независимы. Вычислим их корреляционный момент в соответствии с определением:

.

По свойству математического ожидания независимых случайных величин:

.

Теорема доказана.

Следствие: Если корреляционный момент (не равен нулю), то случайные величины X и Y зависимые.

Определение: Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений случайных величин X и Y,

.

Из определения следует, что коэффициент корреляции для независимых случайных величин равен нулю.

Теорема 2: Модуль корреляционного момента двух случайных величин не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

.

Доказательство: рассмотрим случайную величину:

Вычислим дисперсию:

, т.о. .

Аналогично, используя случайную величину ,

можно получить: ; ,

,

что и требовалось доказать.

Теорема 3: Коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы. .

Доказательство: Из теоремы 1 имеем: .

Поделим все части на получим:

, откуда и ,

что и требовалось доказать.

Определения: Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их корреляционный момент отличен от 0 (нуля).

Две случайные величины X и Y называют некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0 (нулю).

Из этих определений следует, что две коррелированные величины будут также зависимы. Обратное утверждение не всегда справедливо: если две случайные величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.