![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Неравенство Чебышева справедливо для ДСВ и НСВ.
Докажем для ДСВ:
Пусть дана ДСВ Х и ее закон распределения.
X | x1 | x2 | x3 | …… | xn |
P | P1 | P2 | P3 | …… | Pn |
Теорема: Вероятность абсолютного отклонения случайной величины от M(X) на число не превосходящее e не меньше разности 1- (D(X) / e2)
P(ê x – M(X) ê < e) ³ (1 - (D(X) / e2))
Доказательство: События {ê x – M(X) ê < e } и {ê x – M(X) ê ³ e } противоположны. Тогда вероятность первого события:
P(ê x – M(X) ê < e) = 1 - P(ê x – M(X) ê ³ e).
Вычислим
.
Все слагаемые D(X) положительные. Отбросим из данной суммы те слагаемые, для которых (xi – M(X)) < e, тогда:
В последнем неравенстве в правой части остались те слагаемые, для которых
(xi – M(X)) ³ e, (xi – M(X))2 ³ e2, откуда D(X) ³ e2 *(pk+1 + pk+2 +…+ pn).
Сумма вероятностей pk+1 + pk+2 + …. + pn - есть не что иное, как вероятность того, что:
P(êX – M(X) ê ³ e), тогда D(X) ³ e2 * P(êX – M(X) ê ³ e),
P(êX – M(X) ê³ e) £ D(X)/e2; P(êX – M(X)ê<e) ³ 1 - D(X)/e2,
что и требовалось доказать.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 250 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!