Теорема Чебышева. Теорема: Если случайные величины X1 , X2 , , Xn , попарно независимы и дисперсии этих величин ограничены

Теорема: Если случайные величины X₁, X₂, …, X_n, попарно независимы и дисперсии этих величин ограничены, (D(Xi) £ C) то

Доказательство: Рассмотрим случайную величину

.

Тогда по свойству математического ожидания:

,

.

Воспользуемся неравенством Чебышева:

,

.

Вычислим предел от данного неравенства:

, откуда

Так как 0 £ P £ 1, то

что и требовалось доказать.

Из данной теоремы следует, что если отдельные случайные величины могут принимать значения далекие от их математического ожидания, то среднее арифметическое случайных величин принимает значение очень близкое к значению среднего арифметического их математических ожиданий.