Бесконечно малые функции и их свойства

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х ® а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Теорема (о связимежду функцией, её пределом и бесконечно малой функцией)

Для того, чтобы функция f(x) при х® а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)® 0 при х ® а).

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма конечного числа бесконечно малых функций при х ® а тоже бесконечно малая функция при х ® а.

2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций при х ® а тоже бесконечно малая функция при х ® а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х ® а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю - величина бесконечно малая.