Первый замечательный предел

При вычислении пределов тригонометрических выражений часто используется предел

.

Доказательство. Рассмотрим в круге радиуса 1 острый угол х ( МОВ), хорду МВ и касательную ВС к окружности в точке В. На рисунке |AM| = sinx, дуга окружности МВ численно равна центральному углу х, а |BC| = tgx. Очевидно, что имеет место неравенства площадей соответствующих фигур . Площадь треугольника Δ МОВ равна или . Площадь сектора МОВ равна . Площадь треугольника Δ СОВ равна или .

На основании предыдущего неравенства площадей имеем

< < . Разделим неравенства на > 0 (в предположении, что ), получим < < . Так как и , то по теореме 6 существования пределов

.

Пусть теперь x < 0. Тогда , где - х > 0. Поэтому

В результате . (4.1)

Данный предел называется первым замечательным пределом.