Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство теоремы. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где ,

Тогда f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

. Теорема доказана.

Теорема 3.

Доказательство теоремы. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где ,

тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

. Теорема доказана.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x) > 0 вблизи точки х = а и , то А > 0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М > 0, что ï f(x) ï < M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или

, т.е.

где М = e + ï А ï Теорема доказана.